運動方程式は
$ ｍ\frac{ d^2x_1 }{dt^2} = -kx - k(x_1 - x_2 )$
$ ｍ\frac{ d^2x_2 }{dt^2} = -k(x_2 - x_1) -kx_2 $
と書ける。
ここで、
$x1=X1cosωt$
$x2=X2cosωt$
と仮定しこれを満たす、振動数方程式を導出すると
$\begin{vmatrix}
2k-mω^2 & -k \\
-k & 2k -mω^2
\end{vmatrix}=0$
$（k-mω^2）(3k-mω^2)=0$
$ω=\sqrt{\frac{k}{m}}，ω=\sqrt{\frac{3k}{m}}$
[解答]②
参考
2自由度振動系の状態方程式
2.1 2自由度振動系の運動方程式
技術士第一次試験－令和3年度機械部門Ⅲ-22解答例 | 技術士のたまご
振動解 x = X e^{i\omega t} を仮定するのはなぜですか？
とても重要な質問です。
なぜ (x = X e^{i\omega t}) を仮定してよいのか？
→ これは「線形振動方程式の解の性質」から来ています。
✅ 原理：線形系の自由振動は必ず正弦波になる
ばね‐質点系の運動方程式は
[
m\ddot{x}+kx = 0
]
これは
線形・時不変の2階微分方程式です。
このタイプの方程式は、
振動解は必ず正弦波（調和振動）になることが数学的に知られています。
実際、実際の解は
[
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)
]
となります。
✅ ではなぜ (e^{i\omega t}) を使うの？
オイラーの公式
[
e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)
]
これを使うと、
- 微分が簡単（(\frac{d}{dt}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t})）
- 行列計算に乗せやすい
- 固有値問題（振動数決定）が直接できる
だから便利なので使っています。
最終的な解は実数部だけ取ればOK。
つまりこれは
「正弦波解を計算しやすい形に書いたもの」
というだけです。
✅ 直感的説明
バネと質量の系が自由に振動すると
→
外力がないので、自然な形＝単一周波数の波動になる
複雑な初期条件を与えると
→ いくつかの周波数の
重ね合わせになる（固有モード）
しかし
基本形として正弦波をまず仮定して固有振動数を求めるというアプローチをとります。
✅ 線形代数的視点
運動方程式
[
M\ddot{x}+Kx=0
]
に (x=X e^{i\omega t}) を代入すると
[
(-\omega^2 M + K)X = 0
]
これは
固有値問題
[
KX = \omega^2 M X
]
つまり、
振動周波数 (\omega) は剛性行列 (K) と質量行列 (M) の固有値
✅ まとめ
| 理由 |
説明 |
| 線形の自由振動は正弦波 |
だからその形を仮定して良い |
| (e^{i\omega t}) は便利な書き方 |
微分→固有値問題に変換できる |
| 実際の解は実数部分 |
物理的に正弦波になる |
✅ よくある混乱
| 誤解 |
正しい理解 |
| 「なぜ複素数？」 |
計算のため。実部が物理解 |
| 「正弦波しか解けない？」 |
線形自由振動は正弦波しか出てこない |
✅ 一言で言うと
線形の自由振動は必ず正弦波なので、
最初から正弦波（=複素指数）を仮定してよい。
必要なら、数値例を使って
- 任意初期条件→固有振動モードの重ね合わせ
- 複素指数が消える直感
- モーダル解析の流れ
なども解説できます。続けますか？
(-\omega^2 M + K)X = 0 ここのeiωtは両辺から消されましたか？Xはなぜ残しているのですか？
はい、良い疑問です。ここをきちんと理解すると振動方程式の構造が一気にクリアになります。
質問は次の2点ですね：
① 代入した (e^{i\omega t}) はどこへ行ったの？消した？
② なぜ (X)（振幅ベクトル）は残るの？
順番に説明します。
✅ 結論を先に
- (e^{i\omega t}) は 両辺に共通する因子なので、0 でない限り 割り算して消せる
- (X) は **振幅（固有ベクトル）**で、未知量として残す必要がある
→ 固有振動モード（形状）を表すから
✅ ステップごとの式変形
振動解を
[
x = X e^{i\omega t}
]
と仮定すると
二階微分は
[
\ddot{x} = -\omega^2 X e^{i\omega t}
]
これを運動方程式
[
M\ddot{x} + Kx = 0
]
に代入すると
[
M(-\omega^2 X e^{i\omega t}) + K(X e^{i\omega t}) = 0
]
共通因子 (e^{i\omega t}) をくくると
[
(-\omega^2 M X + KX),e^{i\omega t} = 0
]
✅ ここで (e^{i\omega t}) が消せる理由
- (e^{i\omega t}) は 常に 0 にならない
- したがって式両辺を (e^{i\omega t}) で割れる
[
(-\omega^2 M X + KX) = 0
]
これが
[
(-\omega^2 M + K)X = 0
]
です。
✅ ではなぜ (X) は残るの？
[
(-\omega^2 M + K)X = 0
]
は線形代数でいう
固有値問題です。
- (\omega^2) : 固有値（固有振動数の2乗）
- (X) : 固有ベクトル（固有振動モード）
(X = 0) だと意味がない（変位ゼロなので振動していない）。
なので、非自明解を求めます：
[
(-\omega^2 M + K)X = 0\quad\Rightarrow\quad
\det(K - \omega^2 M)=0
]
この条件から (\omega) が求まります。
(\omega) が決まれば、そのときの (X)（モード形状）が決まります。
✅ 直感的な理解
- (e^{i\omega t}) は “時間に関する部分”
- (X) は “形（空間の振れ方）”
時間依存と空間依存を分離している
→ この手法を
変数分離と呼びます。
✅ まとめ
| 項目 |
理由 |
| (e^{i\omega t}) が消える |
0にならない共通因子 → 割れる |
| (X) が残る |
固有モード（振れ方）を表す未知量だから |
| 得られる式 |
固有値問題 ( (K-\omega^2 M)X=0 ) |
✅ 一言でいうと
時間と空間を分離して解いているから
(e^{i\omega t}) を消して (X) を残す
もっと深掘りしますか？例えば：
- 固有ベクトルが物理的に何を意味する？
- なぜ複素数振動でも実際は実数になる？
- 任意初期条件がモードの重ね合わせになる理由
- モード直交性の証明
どれでも説明できます。
