令和3年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-19　ばねと定滑車とおもりからなる系の固有周期

ひもの張力をFとするとおもりの運動方程式は
\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg – F \]

定滑車の回転に関する運動方程式は回転角をθ慣性モーメントをIとすると
\[ I\frac{d^2θ}{dt^2} = (F – kx)a = Fa – kax \]

\[ F =  \frac{I}{a}\frac{d^2θ}{dt^2} + kx \]

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg – \frac{I}{a}\frac{d^2θ}{dt^2}  – kx \]

\( x = aθ \) より

\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg – \frac{I}{a^2}\frac{d^2x}{dt^2}  – kx \]

\[ (m + \frac{I}{a^2})\frac{d^2x}{dt^2} + kx = mg \]

\( I = \frac{1}{2}Ma^2 \)より

\[ (m + \frac{1}{2}M)\frac{d^2x}{dt^2} + kx = mg \]

\[ ω_n = \sqrt{\frac{k}{m + \frac{1}{2}M}} = \sqrt{\frac{2k}{2m + M}} \]

\[ ω_n = 2πf = \frac{2π}{T} \]

\[ T =  2π\sqrt{\frac{Ｍ +2ｍ}{2k}} \]

[解答]②

参考

回転軸まわりの慣性モーメントと固有角振動数（H26）

回転体の慣性モーメント（H25）