ひもの張力をFとするとおもりの運動方程式は
\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg – F \]
定滑車の回転に関する運動方程式は回転角をθ慣性モーメントをIとすると
\[ I\frac{d^2θ}{dt^2} = (F – kx)a = Fa – kax \]
\[ F = \frac{I}{a}\frac{d^2θ}{dt^2} + kx \]
\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg – \frac{I}{a}\frac{d^2θ}{dt^2} – kx \]
\( x = aθ \) より
\[ m\frac{d^2x}{dt^2} = mg – \frac{I}{a^2}\frac{d^2x}{dt^2} – kx \]
\[ (m + \frac{I}{a^2})\frac{d^2x}{dt^2} + kx = mg \]
\( I = \frac{1}{2}Ma^2 \)より
\[ (m + \frac{1}{2}M)\frac{d^2x}{dt^2} + kx = mg \]
\[ ω_n = \sqrt{\frac{k}{m + \frac{1}{2}M}} = \sqrt{\frac{2k}{2m + M}} \]
\[ ω_n = 2πf = \frac{2π}{T} \]
\[ T = 2π\sqrt{\frac{Ｍ +2ｍ}{2k}} \]
[解答]②
参考
回転体の慣性モーメント（H25）
運動エネルギーはなんの運動エネルギーですか
ここで扱っている 運動エネルギー (T) は、この系を構成する
- おもり（質量 (m)）の並進運動エネルギー
- 円板（質量 (M)，半径 (a)）の回転運動エネルギー
の 合計 です。
つまり
[
T = T_{\text{おもり}} + T_{\text{円板（回転）}}
]
という意味です。
✅ 1. おもり (m) の運動エネルギー（並進）
おもりは上下に並進運動します。
速度を (\dot x)（ひもが動く速度）とすると、
[
T_m=\frac12 m\dot x^2
]
✅ 2. 円板（質量 (M)）の運動エネルギー（回転）
円板は固定軸まわりに回転し、その角速度は
[
\dot\theta = \frac{\dot x}{a}
]
（ひもはすべらないので、周速 (a\dot\theta) がひもの速度 (\dot x) に一致）
円板の慣性モーメント（中心まわりの回転）
[
I=\frac12 Ma^2
]
したがって回転運動エネルギーは
[
T_{\text{rot}}=\frac12 I\dot\theta^2
=\frac12 \frac{I}{a^2}\dot x^2
]
[
\frac{I}{a^2}
=\frac{\frac12 Ma^2}{a^2}
= \frac{M}{2}
]
✅ 3. 合計すると？
[
T = \frac12 m\dot x^2+\frac12\frac{I}{a^2}\dot x^2
]
[
T=\frac12\left(m+\frac{M}{2}\right)\dot x^2
]
これが前に出てきた
見かけの質量 (m + M/2) です。
✅ まとめ
| 部分 | 内容 | 運動エネルギー |
|---|---|---|
| おもり (m) | 並進 | (\frac12 m\dot x^2) |
| 円板 (M) | 回転 | (\frac12 I\dot\theta^2 = \frac12\frac{M}{2}\dot x^2) |
| 合計 | 系の運動エネルギー | (\frac12\left(m+\frac{M}{2}\right)\dot x^2) |
✅ なぜ円板の回転だけでよいのか？
- 円板は固定軸で並進しない
- ひもは滑らないため、円板はひもの動きに合わせて回転のみ
したがって
円板の運動エネルギーは回転運動エネルギーだけです。
必要であれば、この系をラグランジュ方程式から完全に導く流れも説明できます。
円板（半径 a、質量 M の一様円板）の慣性モーメント = 1/ 2 2について教えてください
もちろんです。
あなたが知りたいのは、
半径 (a)、質量 (M) の一様円板の慣性モーメント
[
I=\frac12 Ma^2
]
はどうやって求められるのか？
なぜ (\frac12) がつくのか？
という点ですね。
✅ 一様円板の慣性モーメントの公式
円板をその中心を通る垂直軸まわりに回転させるとき、
その慣性モーメントは
[
\boxed{I=\frac12Ma^2}
]
これは「一様に質量が分布した円板」の公式です。
✅ 証明（積分で求める）
円板を細い輪（リング）に分割して積分します。
● 1. 半径 (r) のリング要素を考える
リングの半径：(r)
厚さ：(dr)
長さ：周長 (2\pi r)
面密度：(\sigma = \dfrac{M}{\pi a^2})
リングの質量は
[
dm = \sigma (2\pi r dr)
]
● 2. リングの慣性モーメント
リングは半径 (r) の質量がすべて円周にあるので
慣性モーメントは
[
dI = r^2 dm = r^2\sigma 2\pi r dr
]
● 3. 円板全体にわたって積分
[
I = \int_0^a 2\pi\sigma r^3 dr
]
[
I = 2\pi\sigma \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^a
= 2\pi\sigma \frac{a^4}{4}
= \frac{1}{2}\pi\sigma a^4
]
面密度 (\sigma = \frac{M}{\pi a^2}) を代入すると
[
I = \frac12 M a^2
]
✅ 結果
[
\boxed{I=\frac12Ma^2}
]
✅ 直感的な理解
- 棒（質量 M、長さ L）の中央軸まわりは (I=\frac{1}{12}ML^2) と小さい
→ 質量が中心付近に多くある - 一方、円板の質量は外側にも大量にある
→ 棒よりは大きい慣性モーメント - しかし、全部が外周にあるリング（(I=Ma^2))ほどは大きくない
その中間なので係数が 1/2 になる。
✅ より直感的な図（イメージ）
リング：全部が半径 a に → I = M a^2（最大）
円板：中心にも質量あり → I = (1/2) M a^2（半分）
棒：中心に近く多い → I = (1/12) M L^2（さらに小）
✅ まとめ
半径 a、質量 M の一様円板の慣性モーメント：
[
I = \frac12 M a^2
]
積分により導かれ、物理的にも
- リング（全部外側）→ (I = Ma^2)
- 一様円板 → (I = \frac12Ma^2)
という関係を満たしています。
必要なら、
- 中心以外の軸の慣性モーメント
- パラレルアクシス定理（平行軸の定理）
- 一様球・円筒の慣性モーメント
なども解説できます。
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