設問の系を空気中で振動させた場合の運動方程式は
$ m\ddot{ x } +kx= 0$
固有角振動数と周期は
$ ω = \sqrt{\frac{ k }{ｍ}} $
$ T = \frac{ 2π }{ω}=2π\sqrt{\frac{ m }{k}} $
となる。
液体中での運動方程式は
$ m\ddot{ x } +c\dot{ x }+kx= 0$
抵抗力はSと速度に比例するので、
$ m\ddot{ x } +c'S\dot{ x }+kx= 0$
固有角振動数と周期は
$ ω = \frac{\sqrt{4mk-(c'S)^2}}{2ｍ} $
$ T = \frac{ 2π }{ω}=\frac{4mπ}{\sqrt{4mk-(c'S)^2}} $
題意より周期は空気中のn倍なので、
$ 2πn\sqrt{\frac{ m }{k}} =\frac{4mπ}{\sqrt{4mk-(c'S)^2}} $
$ c' =\frac{2\sqrt{mk(n^2-1)}}{nS} $
[解答]③
参考
1自由度振動系の運動方程式と変位の伝達率と減衰比（H26）
1自由度系の振動の振幅ζ と減衰比（H25）
詳しく教えて下さい
了解！図の設定を式に落として、最後に選択肢③になるところまで丁寧に追います。問題の整理
- 空気中（減衰なし）で周期：(T) (\displaystyle \omega_n=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}})
- 液体中では、「速度比例」の抵抗（粘性減衰）を受ける： 抵抗力 (F_d=(\alpha S),\dot x) → 等価減衰係数 (c=\alpha S)（求めたいのは (\alpha)）
- 液体中の周期は (T_d=nT)（(n>1)）
減衰1自由度の基礎式
減衰ありの運動方程式： [ m\ddot x+c\dot x+kx=0 \quad (c=\alpha S) ] 固有値 (\lambda) は [ m\lambda^2+c\lambda+k=0 \Rightarrow \lambda=-\frac{c}{2m}\pm i\omega_d ] ここで減衰固有角振動数 [ \omega_d=\sqrt{\omega_n^2-\left(\frac{c}{2m}\right)^2},\qquad \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} ] 周期は [ T_d=\frac{2\pi}{\omega_d},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega_n} ]「周期が (n) 倍」から (c) を求める
[ n=\frac{T_d}{T}=\frac{\omega_n}{\omega_d} =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{c}{2m\omega_n}\right)^2}} ] 両辺を変形して [ \left(\frac{c}{2m\omega_n}\right)^2 =1-\frac{1}{n^2} =\frac{n^2-1}{n^2} ] [ \Rightarrow\quad c=\frac{2m\omega_n}{n}\sqrt{n^2-1} =\frac{2}{n}\sqrt{m^2\omega_n^2,(n^2-1)} ] (,m\omega_n=\sqrt{mk},)（※ (\omega_n=\sqrt{k/m}) より）なので [ c=\frac{2}{n}\sqrt{mk,(n^2-1)} ]比例係数 (\alpha) を出す
[ \alpha=\frac{c}{S} =\boxed{\frac{2\sqrt{mk,(n^{2}-1)}}{nS}} ] → 選択肢③ちょい確認（次元と極限）
- 次元：(\sqrt{mk}) は ([\mathrm{kg}/\mathrm{s}])。 (\alpha) は ([\mathrm{kg}/(\mathrm{s},\mathrm{m}^2)] = [\mathrm{N,s}/\mathrm{m}^3]) で、(F_d=(\alpha S)\dot x) の単位 ([\mathrm{N}]) に合う。
- (n\to1)（周期ほぼ変化なし）で (\alpha\to0)：抵抗なしに一致。
- 減衰条件：(\omega_d) 実数 ⇒ (c<2\sqrt{mk})（アンダーダンピング）。本式はその範囲で成り立つ。
固有角振動数はルートの中身だけですか？固有値の時はルートの前に-cという項がありますがそれは関係なくなりますか？
とても良い質問です。 固有角振動数（＝振動の“周波数”）と、固有値（＝時間に対する指数解の“係数”）の違いが本質になります。 以下、結論 → 理由 → 図式まとめでしっかり整理します。✅ 結論
固有角振動数（ω）は、固有値 λ の “虚部の絶対値” のみで決まる。
固有値 [ \lambda = -\frac{c}{2m} \pm i \omega_d ] のうち- 実部：(-c/(2m)) → 減衰による「減り方」を決める
- 虚部：(\omega_d) → 振動の「速さ」（角振動数）を決める
✅ **固有角振動数は、√ の中身（虚数部分）だけであり、
前の (-c/2m) は周波数には関係しない。**✅ 理由（なぜ -c/2m が関係しないのか？）
減衰振動の一般解は [ x(t)=e^{-\frac{c}{2m}t} \left(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t\right) ] ここで分離して考えると：| 部分 | 役割 |
|---|---|
| (e^{-ct/(2m)}) | 振幅が時間とともに減っていく（減衰） |
| (\cos\omega_d t, \sin\omega_d t) | 振動の“周期”や“速さ”を決める |
周波数（振動の速さ）だけを決めるのは虚部 (\omega_d)
実部（(-c/2m)）は 周波数には影響しない → ただし振幅が時間とともに小さくなる速度を決めるだけ。✅「固有値」と「固有角振動数」の違い
✅ 固有値 λ
指数解 (e^{\lambda t}) に出てくるもの [ \lambda = -\frac{c}{2m} \pm i\omega_d ]✅ 固有角振動数 ω（減衰固有角振動数）
固有値の虚部の絶対値 [ \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \left(\frac{c}{2m}\right)^2} ] つまり- 固有値 λ：減衰も含んだ「複素数」
- 固有角振動数 ω：そのうち“振動”のみを表す量
✅ 図で整理
固有値λ = - 応答の減衰速度（実部）
± i × 振動の速さ（虚部 = 固有角振動数）
┌───────────────┐
│実部（−c/2m） ⇒ 振幅が減る速さだけを決める│
│虚部（ωd） ⇒ 振動周期を決める │
└───────────────┘
✅ まとめ（質問に直接答える）
固有角振動数はルートの中身だけですか？✅ はい。 固有角振動数 (\omega_d) は [ \omega_d = \sqrt{\frac{k}{m}-\left(\frac{c}{2m}\right)^2} ] の √ 内だけ が関係する。
固有値の時はルートの前に −c の項がありますがそれは関係なくなりますか？✅ はい、振動の周期（角振動数）を考えるときは無関係です。 その項は「減衰の速さ」を表すだけで「振動の速さ」には影響しません。
必要なら、 ✅ 物理的イメージ図 ✅ 実部が周波数に影響しない理由の数学的証明 ✅ 強制振動での応答周波数との違い なども詳しく説明できます！
周期は固有角振動数の逆数に2πをかけますか？
はい、その通りです。 周期 (T) と角振動数 (\omega) の関係は [ \boxed{T=\frac{2\pi}{\omega}} ] です。✅ 【減衰なし】のとき
固有角振動数： [ \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} ] 周期： [ T=\frac{2\pi}{\omega_n} ]✅ 【減衰あり（アンダーダンピング）】のとき
固有値は [ \lambda=-\frac{c}{2m}\pm i\omega_d ] この「虚部の絶対値」 (\omega_d) が 実際に振動する速さ です。 周期： [ \boxed{T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}} ] ※減衰しても周期は- 減衰固有角振動数 (\omega_d) で決まる
- 実部 (-c/(2m)) は周期には関係しない（振幅が減るだけ）
✅ なぜ 2π をかける？
角振動数の定義 [ \omega = \frac{\text{単位時間あたりの位相変化量（rad/s）}} {1 \text{秒}} ] 周期は「1周＝2π rad 進むのにかかる時間」なので [ T = \frac{2\pi\ \text{rad}}{\omega\ \text{rad/s}} ] というだけです。✅ まとめ
- 周期 = (2\pi / \omega)
- 減衰ありでも同じ
- 使うのは固有値のうちの 虚部（角振動数）だけ
もし希望があれば ✅ 減衰が周期にどう影響するか（わずかに長くなる理由） ✅ 実部と虚部の役割の図解 ✅ 問題 III–18 の周期計算の丁寧な復元 も追加で説明します！
振動は上下運動なのに、周波数hzではなく角振動数になるのはなぜですか？
とても良い質問です。 「上下運動なのに、なぜ普通の周波数（Hz）ではなく“角振動数（rad/s）”を使うのか？」 これには 数学的理由 と 物理的理由 の両方があります。 結論から言うと：✅ 結論
角振動数（rad/s）のほうが、方程式が“自動的にきれいな形になる”から。 そして 固有値（複素数）の形と直接対応するから。 Hz を使うと式がぐちゃぐちゃになります。✅ 1. 振動は三角関数で表されるから
ばね振動の解は [ x(t) = A\cos(\omega t - \phi) ] ここで、 [ \omega t ] は 位相（フェーズ）です。 位相は「ラジアン（rad）」で表します。- 1 周 = (2\pi) rad
- 1 秒で (\omega) rad 進む → (\omega) は「位相の時間変化率」
✅ 2. 角振動数は「三角関数の中で直接使える周波数」
三角関数の中身（位相）は必ずラジアンで表すので、 [ \text{三角関数の周期的な運動} \quad \Rightarrow\quad \text{自然に角振動数が登場する} ] つまり、- 上下運動の位置
- 速度
- 加速度
✅ 3. なぜ Hz（f）を使わないのか？
使えます。ただし、式が汚くなる。 [ \omega = 2\pi f ] なので- 位置： [ x(t)=A\cos(2\pi ft) ]
- 速度： [ v(t) = -2\pi f A\sin(2\pi ft) ]
- 加速度： [ a(t)=-(2\pi f)^2 A\cos(2\pi ft) ]
✅ 4. 運動方程式が一発でシンプルになるのは「角振動数」
減衰なしばね振動の方程式： [ m\ddot x + kx = 0 ] 指数解を (x=e^{\lambda t}) とすると [ \lambda^2 + \frac{k}{m}=0 \Rightarrow \lambda = \pm i\sqrt{\frac{k}{m}} ] この [ \underbrace{\sqrt{\frac{k}{m}}}_{\omega_n} ] が 自然と固有角振動数になる。 Hz に変換すると [ f = \frac{\omega}{2\pi} ] と“わざわざ”変換が必要で不便。✅ 5. 固有値（複素数）の形とも相性が良い
減衰振動では固有値が [ \lambda = -\frac{c}{2m} \pm i\omega_d ] になるので、 虚部が直接「角振動数」になっている。 普通の周波数（Hz）では [ \omega_d = 2\pi f_d ] と変換しないといけない。 固有値解析では 角振動数のほうが圧倒的に便利で自然。✅ 6. 工学では「角振動数のほうが本質的」
振動・波動・電気回路・量子力学・機械振動・制御工学… どの分野でも- 微分方程式にそのまま出る
- 固有値の虚部と一致する
- 三角関数（または複素指数）の中で自然に出る
✅ まとめ
| 量 | 意味 | 理由 |
|---|---|---|
| Hz（f） | 1秒あたりの振動回数 | 直感的だが式が複雑になる |
| 角振動数（ω） | 1秒あたりの位相変化(rad) | 微分方程式、三角関数、固有値で自然に現れる |
✅ 最後に一言
上下運動であっても 三角関数で表す以上、位相（ラジアン）が本質。 だから角振動数を使うのです。必要なら： ✅ 図で位相と Hz の違い ✅ 固有値の実部・虚部と ω の関係 ✅ f と ω を直接比べる感覚的説明 も作れます！
ファンクションジェネレータで200hzのsin波を作った場合、これも角振動数で表す方がわかりやすいですか？
とてもよいポイントです。 結論から言うと：✅ 結論
用途によって使い分けるが、 “数学的に扱う（微分・位相・伝達関数）なら角振動数のほうが圧倒的にわかりやすい”。 ファンクションジェネレータの“200 Hz”という表示は人間にとって直感的ですが、 回路解析・機械振動・制御理論では必ず角振動数 (\omega = 2\pi f) を使います。✅ ファンクションジェネレータの出力例（200 Hz）
200 Hz の正弦波なら [ x(t) = A\sin(2\pi\cdot 200,t) ] 角振動数は [ \omega = 2\pi f = 2\pi(200) = 400\pi \approx 1256; \mathrm{rad/s} ]✅ では「角振動数」がわかりやすいのはどんなとき？
以下のような解析をするなら角振動数が圧倒的に便利です。✅ 1. 微分を取るとき
[ x(t)=\sin(\omega t) ] [ \frac{dx}{dt} = \omega \cos(\omega t) ] → 微分しても構造が変わらない（超きれい） → 電気回路・振動解析・制御で必須 Hzのままだと [ 2\pi f ] が毎回出てきて複雑になります。✅ 2. 複素指数（オイラーの公式）で扱うとき
[ \sin(\omega t) = \Im{e^{i\omega t}} ]- 伝達関数
- 周波数応答
- 固有値解析
- フーリエ解析
✅ 3. Bode線図や回路・機械の共振解析
共振角周波数は [ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} ] や [ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} ] Hzを使うと毎回 [ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} ] のように (2\pi) が邪魔をします。 角振動数の方が構造がシンプル。✅ 4. 位相の扱いが直感的になる
200 Hz の信号の1秒間の位相変化量は [ \Delta\phi = 2\pi f(1\text{s})= 400\pi \text{ rad} ] すなわち 角振動数は「1秒に何ラジアン進むか」という位相そのものを表す。 これは電気回路・振動・制御でとても有用。✅ 一方で、人間の感覚的には Hz がわかりやすい
- 「音が 440 Hz」
- 「モーターが 3600 rpm (60 Hz)」
- 「関数発生器で 200 Hz」
✅ まとめ：使い分け
| 場面 | Hz | 角振動数（rad/s） |
|---|---|---|
| 人に説明、感覚的理解 | ✅ 使いやすい | △ 少し直感的でない |
| 微分方程式で解析 | △ 毎回 2π が出る | ✅ 圧倒的に便利 |
| 振動・制御・回路解析 | △ 不向き | ✅ 必須レベル |
| 位相（フェーズ）扱い | △ 直感的でない | ✅ 位相と直接対応 |
✅ 結論（改めて）
ファンクションジェネレータで200 Hzのsin波を作った場合、角振動数で表す方がわかりやすいですか？✅ 解析・計算では角振動数の方が“圧倒的に”わかりやすい。 ✅ 設定や直感的理解には Hz の方がわかりやすい。 ＝目的に応じて使い分けが最適。
必要なら、 ✅ 角振動数と固有値の関係 ✅ 角振動数とフーリエ変換の関係 ✅ 直感的なアニメーション風解説（文章で） などもできます！
