平成25年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-1　材料力学 自重による段付き棒の伸び

まずは、$ｌ_2$部の伸びを求めます。
$σ_2 = \frac{ ρgA_2x }{ A_2 } = ρgx$
$ε = \frac{ σ_2 }{ E }$
$ｌ_2$の伸びは上式を0から$ｌ_2$までの範囲で積分すると求まり、

$\int_0^{ｌ_2}\frac{ ρgx }{ E } dx　= \frac{ ρgｌ_2^{2} }{ 2E }$

となる。

次に、$ｌ_1$部の伸びを求めます。
$σ_1 = \frac{ ρgA_2ｌ_2 ＋　ρgA_1x }{ A_1 }$
$ε = \frac{ σ_1 }{ E }$
$ｌ_1$の伸びは上式を0から$ｌ_1$までの範囲で積分すると求まり、

$\int_0^{ｌ_1}\frac{  ρgA_2ｌ_2 ＋　ρgA_1x }{ A_1E } dx　= \frac{ ρgA_2ｌ_1ｌ_2 }{ A_1E } +\frac{ ρgｌ_1^2 }{ 2E }$

よって全体の伸び量は
$\frac{ ρgｌ_2^{2} }{ 2E }＋\frac{ ρgA_2ｌ_1ｌ_2 }{ A_1E } +\frac{ ρgｌ_1^2 }{ 2E }　＝　\frac{ ρgA_2ｌ_1ｌ_2 }{ A_1E } +\frac{ ρg（ｌ_1^2＋ｌ_2^2） }{ 2E }$

[解答] ②

参考：https://www.jsme.or.jp/kaisi/1203-40/