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H25 機械Ⅲ-1

 

まずは、$l_2$部の伸びを求めます。
$ σ_2 = \frac{ ρgA_2x }{ A_2 } = ρgx$
$ ε = \frac{ σ_2 }{ E }$
$l_2$の伸びは上式を0から$l_2$までの範囲で積分すると求まり、

$  \int_0^{l_2}\frac{ ρgx }{ E } dx = \frac{ ρgl_2^{2} }{ 2E }$

となる。

次に、$l_1$部の伸びを求めます。
$ σ_1 = \frac{ ρgA_2l_2 + ρgA_1x }{ A_1 } $
$ ε = \frac{ σ_1 }{ E }$
$l_1$の伸びは上式を0から$l_1$までの範囲で積分すると求まり、

$  \int_0^{l_1}\frac{  ρgA_2l_2 + ρgA_1x }{ A_1E } dx = \frac{ ρgA_2l_1l_2 }{ A_1E } +\frac{ ρgl_1^2 }{ 2E }$

よって全体の伸び量は
$ \frac{ ρgl_2^{2} }{ 2E }+\frac{ ρgA_2l_1l_2 }{ A_1E } +\frac{ ρgl_1^2 }{ 2E } = \frac{ ρgA_2l_1l_2 }{ A_1E } +\frac{ ρg(l_1^2+l_2^2) }{ 2E }$

[解答] ②

参考:https://www.jsme.or.jp/kaisi/1203-40/

ポイント
棒の任意の断面に作用する応力は、任意の断面より下側にある棒の自重が応力としてかかる。
(特に根本に近づくほど発生する応力は、かなり大きくなる)
よって、積分で求めることになる。
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