[解答]②
参考
共振や固有振動数とは（H26）
1自由度系の振動の振幅ζ と減衰比（H25）
2自由度振動系の状態方程式（H25）
各選択肢をサクッと検証します。
- ○ 1自由度：(\omega_n=\sqrt{k/m})。質量 (m) を増やせば (\omega_n) は小さくなる。
- × 調和加振 (F_0\sin\omega t) に対し，変位の位相遅れ (\phi) は
[
\tan\phi=\frac{c\omega}{k-m\omega^2}
]
共振近傍（(\omega\approx\omega_n)）で (\phi\approx 90^\circ)（減衰小なら厳密に (90^\circ)）。
(\phi\to180^\circ) になるのは 高周波域（(\omega\gg\omega_n)）。
したがって「共振しているとき 180° ずれる」は誤り。 - ○ 2自由度系の固有振動数は一般に 2個（モードが2つ）。
- ○ 共振時の定常振幅は減衰比 (\zeta) に反比例（(\propto 1/(2\zeta)) 程度）。減衰に依存する。
- ○ 回転機械の危険速度は、横振動の固有振動数に一致（=クリティカルスピード）。
従って不適切なのは ② です。
5について詳しく教えて下さい
了解です。⑤の「回転機械の危険速度は固有振動数と関係している」について、
背景 → 物理法則 → 図解イメージ → 工学的な意味
の順で丁寧に説明します。
✅ ⑤ 回転機械の危険速度とは？
回転機械（モーター・タービン・軸受・シャフトなど）には、
軸が**完全に“まっすぐ”**ではないことが多いです。
- わずかな偏心（芯ブレ）
- 質量バランスの誤差
- 取付け誤差
- 製造ばらつき
これらにより、回転すると
軸の重心が小さく“振られながら”回ります。
回転数がシステムの固有角振動数（横振動の固有振動数）に近づくと、
強制加振と固有振動が一致して“共振”が起きる。
このときの危険な回転速度を “危険速度（critical speed）” と呼びます。
✅ 危険速度 ≒ 横振動の固有振動数
軸の横方向の固有振動数（シャフトの曲げモード）が
[
f_n = \frac{\omega_n}{2\pi}
]
であるなら、
[
\text{危険速度 (rpm)} = 60, f_n
]
つまり 固有振動数そのものが危険速度の位置を決める。
✅ なぜ固有振動数で危険なのか？（物理の根本）
回転軸は偏心があると、回転数 (\omega) で
軸の中心に 横方向の強制振動を加えます。
加振周波数 = 回転周波数
[
\omega_{\text{excitation}} = \omega_{\text{rotor}}
]
横振動の固有角振動数 (\omega_n) と一致すると
[
\omega_{\text{rotor}} = \omega_n
]
共振 ⇒ 振幅が急増 ⇒ 壊れる危険大
✅ 図解イメージ（文章で表現）
偏心した軸（中心が 0.5 mm ズレているとする）を回転させると…
低速 中速 危険速度付近
｜ ｜ ｜
ほぼ静か → だんだん揺れる → ガタガタ大振幅
危険速度を超えると振動はまた落ち着くことがある（超臨界回転）。
✅ 工学的にどう使われるか？
回転機械を設計するときは：
- 危険速度を必ず求める（固有振動数解析）
- 危険速度で運転しないようにする
- 通過する場合は素早く通過する（タービンなど）
- ダンパを入れて振幅を抑える
車のプロペラシャフト、電車の車軸、風力タービン、モーターのロータ、
高速回転工具などすべてに必須の考え方。
✅ 実際の危険速度の求め方（単純モデル）
軸を単純化すると「ばね k で支持された質量 m」になるため
[
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
]
危険速度（rpm）
[
N_{\text{critical}} = 60 \sqrt{\frac{k}{m}}\ ( \text{rpm})
]
これが回転速度と一致すると危険。
✅ 最後に：⑤の説明の意味
⑤
「回転機械の危険速度は固有振動数と関係している。」
これは
✅ 回転スピードが横振動の固有振動数に近づくと共振が起きる
✅ だから危険速度そのものが固有振動数で決まる
という理由で 完全に正しい記述です。
必要なら、
✅ ショートシャフトのモード形状
✅ 危険速度を避ける設計手法（高速・低速側）
✅ MATLAB/FEMでの簡単な固有値解析の説明
なども解説できます！
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