答え：① (\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\cos\alpha)（厳密には (|\cos\alpha|)。）

考え方（水平微小振動）

• ばね定数：(k)（ばね軸方向のフックの法則）
• ばねは水平方向に対して角度 (\alpha)
• 小さな水平変位を (x) とする（左向きを正）

1) ばねの伸び

質点が水平に (x) だけ動くと、ばね軸方向の伸びは
[
\Delta \ell = x\cos\alpha
]
（変位ベクトルのばね方向成分）

2) ばね力の水平成分

ばね力の大きさ：(k,\Delta \ell = k,x\cos\alpha)（ばね軸向き）
その水平成分はさらに (\cos\alpha) を掛けて
[
F_x = k,x\cos\alpha\cdot \cos\alpha
= k,\cos^2\alpha ; x
]
向きは変位と逆（復元力）。

3) 運動方程式 → 固有角振動数

[
m\ddot x + k\cos^2\alpha ; x = 0
\quad\Rightarrow\quad
\omega=\sqrt{\frac{k\cos^2\alpha}{m}}
=\sqrt{\frac{k}{m}};|\cos\alpha|
]

通常は (\alpha\in[0,\pi/2]) を想定するので (\cos\alpha\ge0)、選択肢では ①。

チェック

• (\alpha=0^\circ)（水平ばね）→ (\omega=\sqrt{k/m})（一致）
• (\alpha=90^\circ)（鉛直ばね）→ (\omega=0)（水平復元力なし）

したがって適切なのは ① です。

その水平成分はさらに \cos\alpha を掛けてを詳しく教えて下さい

もちろん詳しく説明します。
ここが一番つまずきやすいポイントなので、ベクトルの向きと成分分解に絞って丁寧に解説します。

✅ 問題の状況整理

ばねは 壁と質点を結ぶ方向にあり、その方向は水平と角度 (\alpha) をなしています。

質量 (m) を左向きに微小量 (x) 動かすと、ばねの 伸び（ばね軸方向の変位） は
[
\Delta \ell = x\cos\alpha
]
になります。

✅ 1. ばねは「ばね軸方向」にしか力を出さない

ばね力の大きさは
[
F_{\text{spring}} = k,\Delta\ell = k x \cos\alpha
]

これは「ばねの向き（斜め方向）」の力の大きさであって、まだ水平成分ではありません。

✅ 2. その力を「水平・鉛直」に成分分解する必要がある

下図を頭に浮かべてください：

      ／（ばね方向：角度α ）
 F_s ／|
    /  |
   ----→  水平方向（欲しい成分）

ばね力 (F_s) を水平成分に分解すると
[
F_{\text{horizontal}} = F_s \cos\alpha
]

つまり

[
F_x = (k x\cos\alpha)\cos\alpha
= kx\cos^2\alpha
]

✅ ❗ここが重要（よく誤解される点）

• 最初の (\cos\alpha) は
  「水平変位 (x) がばね軸方向にどれだけ伸びを作るか」
• 2番目の (\cos\alpha) は
  「ばね軸方向の力を水平成分に射影する係数」

つまり
成分分解を2回しているわけではなく、
“違う意味の (\cos\alpha)” が2つ出てくるだけ。

✅ 1つ目の (\cos\alpha)… 変位の投影（ばねの伸び）
✅ 2つ目の (\cos\alpha)… 力の投影（水平力）

✅ 図で説明（文章図解）

質点が左へ (x) 動く

  ← x

その「ばね方向の変位」は

斜め方向への投影 = x cos α

その結果生じる“ばね力”は

斜め方向へ k (x cos α)

これを水平へさらに投影すると

水平成分 = k (x cos α) × cos α

✅ だから最終的に

[
F_x = k x \cos^2\alpha
]

この水平復元力が運動方程式に入るため

[
m\ddot x + k\cos^2\alpha , x = 0
]

固有角振動数は

[
\omega = \sqrt{\frac{k\cos^2\alpha}{m}}
= \sqrt{\frac{k}{m}} \cos\alpha
]

✅ まとめ（超重要点）

この2つはまったく別の物理的意味を持つので、結果的に (\cos^2\alpha) になります。

必要なら、
✅ 図をより細かく分解した説明
✅ エネルギー法で導く方法（等価ばね定数を出す別解）
も説明できます！