柱の両端とも回転拘束（回転固定）されているので，オイラー座屈の有効長係数は
よって
となり，選択肢①が正解です。
参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-8解答例 | 技術士のたまご
08．座屈 | 合格ロケット
オイラー座屈の有効長係数について教えて下さい
オイラー座屈の「有効長係数（有効座屈長係数）K」は、 柱がどのように支持されているか（端部条件）によって座屈のしやすさが変わることを、 「長さを見かけ上 もっと短く／長くしたものとして扱う」ための係数です。 まずは核心から説明し、あとで直感的イメージを添えます。🔵 1. オイラー座屈の基本式
オイラー座屈荷重は [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} ] で与えられます。- (L)：柱の実長（支点間距離）
- (K)：有効長係数
- (KL)：座屈する時の実質的な座屈長さ
🔵 2. 有効長係数 K の意味
- 柱の端部が「回転できる」か「移動できる」かで、座屈形状の曲率が変わり、 その結果「座屈に対する強さ」も変わる
- これを 長さが変わったものとして等価に表したものが K
🔵 3. 各端部条件の K（重要表）
| 端部条件（支え方） | 有効長係数 K | 座屈形状の特徴 |
|---|---|---|
| 両端ピン（両端回転自由） | 1.0 | 基本形（最もよく出る） |
| 片側固定・片側ピン | 0.7（正確には 0.699） | 剛端が変形を拘束するので座屈しにくい |
| 両端固定（両端回転拘束） | 0.5 | 最も座屈しにくい |
| 片側固定・片側自由（片持ち柱） | 2.0 | 最も座屈しやすい（2倍長い棒と同等） |
🔵 4. 直感的な理解
■ K が小さいもの（0.5・0.7）
→ 座屈しにくい（強い） → 固定端があるので曲がる前に反力やモーメントが効く → 座屈形状が「緩やか」になるため、短い棒のように振る舞う■ K が大きいもの（2.0）
→ 座屈しやすい（弱い） → 片持ちは先端が完全自由で「クネッ」と曲がる → 実際より長い柱（2L）のように扱う🔵 5. 座屈モードのイメージ図（文字で描写）
● K = 1（両端ピン）
o——( )——o
↑
最大たわみ
● K = 0.5（両端固定）
|——( )——|
両端が曲がらず強い形状
● K = 2（片端自由）
|——( )
固定端 → 先端自由で長く見える
🔵 6. 設計でどう使うのか？
座屈耐力は [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2EI}{(KL)^2} ] なので、 K が小さいほど、分母が小さくなり Pcr が大きくなって強くなる。 例えば同じ長さ L でも：- 両端固定： [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2EI}{(0.5L)^2} =4\frac{\pi^2EI}{L^2} ] → 両端ピンの 4 倍の座屈耐力
- 片端自由： [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2EI}{(2L)^2} =\frac{1}{4}\frac{\pi^2EI}{L^2} ] → 両端ピンの 1/4 の座屈耐力
🔵 7. まとめ（覚えるべき値）
| 支持条件 | K |
|---|---|
| 両端ピン | 1.0 |
| 片側固定・片側ピン | 0.7 |
| 両端固定 | 0.5 |
| 片端自由（片持ち） | 2.0 |
必要であれば、
- なぜ 0.7 になるのかの導出（固有値問題）
- モーメント分布
- たわみ曲線の微分方程式解法
- 座屈モードの比較図
ピンは白抜きの丸で表現されますか？
はい、そのとおりです。✅ 材料力学・構造力学で「ピン支持」は白抜きの丸（○）で表現します。
一般的な図記号では以下のようになります：🔵 支点の図記号（代表的なもの）
■ ピン支持（ヒンジ支持）
- 白抜きの丸（○）
- 回転は自由、水平と鉛直の反力が発生（2自由度拘束）
○─── 部材
■ 固定端（完全固定）
- 黒塗りの端部または壁で表す
- 回転も変位も拘束（3自由度拘束）
|──── 部材
|
■ ローラー支持
- 白抜きの丸＋下に小さなローラー
- 回転自由、鉛直反力のみ（1自由度拘束）
○
／＼
──┘
🔵 座屈の端部条件で使う記号
オイラー座屈の端条件でも同じ記号を使います：- 両端ピン → ○────○
- 片端固定・片端ピン → |────○
- 両端固定 → |────|
- 片端固定・自由 → |────(自由端)
🔚 結論
✔ ピン支持は「白抜きの丸」で表す
✔ 回転が自由で、水平・鉛直の反力が発生する支点
必要であれば、
- 支点記号一覧
- 各支点の拘束自由度
- 座屈端条件の図つきまとめ
- 有効長係数 K との対応表 なども作れます！
