令和2年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-4　剛体壁に固定された異材棒における温度上昇時の熱応力解析

以下に，熱応力問題の丁寧な解説を書きます。

✅ 問題の状況整理

棒1と棒2（各長さ (l) ）が剛壁の間でつながれて固定されている。
両方の棒の温度を同じだけ (\Delta T) 上昇させる。

各パラメータ

✅ 自由に膨張できるなら

棒1の自由熱膨張：
[
l\alpha_1\Delta T
]

棒2の自由熱膨張：
[
l\alpha_2\Delta T
]

しかし剛壁と互いに押し合うので膨張できず，圧縮応力が発生。

✅ 伸び量と力の関係

熱膨張と力による変形を合わせて考える

[
\Delta l_1 = l\alpha_1\Delta T – \frac{P,l}{A_1E_1}
]
[
\Delta l_2 = l\alpha_2\Delta T – \frac{P,l}{A_2E_2}
]

ここで (P) は棒を押し縮める軸力（圧縮）
剛壁固定なので

[
\Delta l_1 + \Delta l_2 = 0
]

✅ 式をまとめる

[
l\alpha_1\Delta T – \frac{P,l}{A_1E_1}

• l\alpha_2\Delta T – \frac{P,l}{A_2E_2} = 0
  ]

両辺を (l) で割る：

[
\alpha_1\Delta T + \alpha_2\Delta T

• P\left(\frac{1}{A_1E_1} + \frac{1}{A_2E_2}\right)=0
  ]

(P) について解く

[
P
= \frac{(\alpha_1+\alpha_2)\Delta T}{\frac{1}{A_1E_1}+\frac{1}{A_2E_2}}
]

通分して

[
P = \frac{(\alpha_1+\alpha_2)A_1A_2E_1E_2}{A_1E_1+A_2E_2}\Delta T
]

✅ 棒1の応力

[
\sigma_1 = \frac{P}{A_1}
= \frac{(\alpha_1+\alpha_2)A_2E_1E_2}{A_1E_1+A_2E_2}\Delta T
]

圧縮なので負符号がつく：

[
\sigma_1 = -\frac{(\alpha_1+\alpha_2)A_2E_1E_2}{A_1E_1+A_2E_2}\Delta T
]

🎯 正しい選択肢

[
\boxed{③}
]

✅ 物理的な意味

• 棒1・棒2は直列バネの関係
• 熱膨張しようとするが壁で拘束 → 圧縮応力発生
• 硬くて断面積が大きい棒ほど（(E), (A) 大）力を多く負担

📝 ポイントまとめ

必要なら，数値を入れた例やバネモデルの図解も作ります。
他の類題も解説できますので言ってくださいね。

[解答] ③

参考

剛体壁に固定された異材棒における温度上昇時の熱応力解析

平成27年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-4　温度上昇と熱応力

平成25年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-2　材料力学　固定された丸棒に生じる熱応力