令和2年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-4　剛体壁に固定された異材棒における温度上昇時の熱応力解析

### 条件整理

1. 各棒の変形量：
– 棒1の変形量（応力による変形）：$\frac{\sigma_1}{E_1} \cdot l$
– 棒2の変形量（応力による変形）：$\frac{\sigma_2}{E_2} \cdot l$

2. 熱膨張による伸び：
– 棒1の膨張量：$\alpha_1 \Delta T \cdot l$
– 棒2の膨張量：$\alpha_2 \Delta T \cdot l$

3. 拘束条件（全体の変形量の総和がゼロ）：
– 剛体壁で固定されているため、2つの棒の変形量と熱膨張量を合わせた全体の変形量がゼロになる：
$$\frac{\sigma_1l}{E_1} + \frac{\sigma_2l}{E_2} + (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T l= 0$$
$$\frac{\sigma_1}{E_1} + \frac{\sigma_2}{E_2} + (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T = 0$$

4. 力の釣り合い条件：
$$\sigma_1 A_1 = \sigma_2 A_2$$
より：
$$\sigma_2 = \frac{\sigma_1 A_1}{A_2}$$

—

### 計算手順

1. **力の釣り合いを代入**
拘束条件に、$\sigma_2 = \frac{\sigma_1 A_1}{A_2}$ を代入します：
$$\frac{\sigma_1}{E_1} + \frac{\frac{\sigma_1 A_1}{A_2}}{E_2} + (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T = 0$$

2. **分母の整理**
$$\frac{\sigma_1}{E_1} + \frac{\sigma_1 A_1}{A_2 E_2} = – (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T$$

3. **共通項でまとめる**
$$\sigma_1 \left(\frac{1}{E_1} + \frac{A_1}{A_2 E_2}\right) = – (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T$$

4. **$\sigma_1$ を解く**
$$\sigma_1 = \frac{-(\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T}{\frac{1}{E_1} + \frac{A_1}{A_2 E_2}}$$

5. **分母を通分**
$$\sigma_1 = \frac{-(\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T \cdot E_1 E_2 A_2}{E_2 A_2 + E_1 A_1}$$

—

### 最終結果

棒1に発生する応力 $\sigma_1$ は次のようになります：
$$\sigma_1 = \frac{-A_2 E_1 E_2 (\alpha_1 + \alpha_2) \Delta T}{A_1 E_1 + A_2 E_2}$$

[解答] ③

参考

剛体壁に固定された異材棒における温度上昇時の熱応力解析

平成27年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-4　温度上昇と熱応力

平成25年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-2　材料力学　固定された丸棒に生じる熱応力