行列 AA の逆行列を求める問題です。
行列 AA は以下の通りです:
A=(100a10bc1)A=⎛⎜⎝100a10bc1⎞⎟⎠
この行列の逆行列を求めるために、一般的な手順を踏みます。まず、行列の積が単位行列になるようにする必要があります。行列 AA に行列 BB を掛けて単位行列になるようにする行列 BB を見つけます。
計算の結果、逆行列は次のようになります:
A−1=(100−a10ac–b−c1)A−1=⎛⎜⎝100−a10ac–b−c1⎞⎟⎠
したがって、選択肢の中でこれに一致するのは、選択肢の4番です。正解は **④** です。
[解答]④
参考:
順を追って説明してください
行列 AA の逆行列を求める順を追った説明です。
行列 AA は次のように与えられています:
A=(100a10bc1)A=⎛⎜⎝100a10bc1⎞⎟⎠
### ステップ 1: 逆行列 A−1A−1 の形式を考える
逆行列 A−1A−1 は次の形式を持つはずです:
A−1=(100x10yz1)A−1=⎛⎜⎝100x10yz1⎞⎟⎠
### ステップ 2: 行列の積 A⋅A−1=IA⋅A−1=I を設定
行列 AA とその逆行列 A−1A−1 の積が単位行列 II になるようにします:
A⋅A−1=(100a10bc1)(100x10yz1)=(100010001)A⋅A−1=⎛⎜⎝100a10bc1⎞⎟⎠⎛⎜⎝100x10yz1⎞⎟⎠=⎛⎜⎝100010001⎞⎟⎠
### ステップ 3: 行列の積を計算
行列の積 A⋅A−1A⋅A−1 を計算します:
A⋅A−1=(100a10bc1)(100x10yz1)=(100a+x10b+cyc+z1)A⋅A−1=⎛⎜⎝100a10bc1⎞⎟⎠⎛⎜⎝100x10yz1⎞⎟⎠=⎛⎜⎝100a+x10b+cyc+z1⎞⎟⎠
### ステップ 4: 方程式を解く
積が単位行列になるように、各成分を比較します:
– a+x=0a+x=0 → x=−ax=−a
– c+z=0c+z=0 → z=−cz=−c
– b+cy+0=0b+cy+0=0 → y=ac–by=ac–b
### ステップ 5: 逆行列を組み立てる
逆行列の成分が揃ったので、逆行列は次のようになります:
A−1=(100−a10ac–b−c1)A−1=⎛⎜⎝100−a10ac–b−c1⎞⎟⎠
この結果に基づき、選択肢の中でこれに一致するものは ④ です。
なぜ逆行列の形式はこのようになるのですか?
A の逆行列を求めるために、特定の形式を仮定する理由は、逆行列
−
1
A
−1
が
A と同じ形式(例えば、三角行列の形)であることが期待されるためです。ここでは、行列
A が下三角行列に似た形式を持っているため、逆行列も似た形式になると予想します。具体的には、以下の手順を踏みます:
何行何列であっても、逆行列の形式は行列Aと同じ形になりますか?
逆行列の形式が行列 AA と同じ形になるかどうかは、行列 AA の特定の構造に依存します。特に、行列が上三角行列や下三角行列などの特定の形を持つ場合、その逆行列も同様の形式を持つことがよくあります。しかし、これは一般にすべての行列に当てはまるわけではありません。
例えば、行列 AA が対角行列である場合、その逆行列も対角行列です。しかし、一般的な行列の場合、逆行列の形式は元の行列と異なることがあります。
ここで考えている行列 AA は下三角行列に似た形をしており、その逆行列も同様に下三角行列の形を保つことが期待されます。しかし、これは行列の特定の構造に依存するため、他の形の行列に対してはこの形式が適用されない場合もあります。
### 一般的な場合の逆行列の求め方
1. **行列 AA の行列式を計算**:行列の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です。
2. **随伴行列を計算**:行列 AA の各要素の余因子行列を求め、それを転置します。
3. **逆行列を求める**:行列 AA の逆行列 A−1A−1 は、行列式を用いて 1det(A)×随伴行列 として求めます。
この手順に従えば、任意の形の行列 A に対して逆行列を求めることができます。
逆行列の公式を詳しく解説してください
逆行列を求める公式について詳しく説明します。
### 逆行列の定義
行列 A が n×n の正方行列で、その逆行列 A−1 が存在する場合、次の関係が成り立ちます:
A⋅A−1=A−1⋅A=I
ここで、I は n×n の単位行列です。
### 逆行列の求め方
逆行列を求めるためには、以下の手順を踏みます。
#### 1. 行列式を計算する
行列 A の行列式 det(A) を計算します。行列 A の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です:
det(A)≠0
#### 2. 随伴行列を求める
行列 A の随伴行列(アジョイント行列) adj(A) を求めます。これには以下の手順を含みます:
– **小行列式を計算**:行列 A の各要素に対応する小行列式を計算します。
– **余因子行列を作成**:小行列式に符号をかけて余因子行列 C を作成します。
– **転置行列**:余因子行列の転置行列が随伴行列 adj(A) です。
#### 3. 逆行列を求める
行列 A の逆行列 A−1 は、次の公式で求められます:
A−1=1det(A)⋅adj(A)
### 例:具体的な行列での逆行列の計算
具体例として、3×3行列の逆行列を求める手順を示します。
#### 例:行列 A
A=(123014560)
1. **行列式の計算**:
det(A)=1(1⋅0–4⋅6)–2(0⋅0–4⋅5)+3(0⋅6–1⋅5)=1(0–24)–2(0–20)+3(0–5)=−24+40–15=1
2. **随伴行列の計算**:
– 小行列式を計算し、余因子行列を作成:
C=(1⋅0–4⋅6−(0⋅0–4⋅5)0⋅6–1⋅5−(2⋅0–3⋅6)1⋅0–3⋅5−(1⋅2–3⋅1)2⋅4–3⋅1−(1⋅4–0⋅1)1⋅1–0⋅2)=(−24−20−5−18−1515−41)
– 転置行列を求める:
adj(A)=CT=(−24−185−20−15−4−511)
3. **逆行列を求める**:
A−1=1det(A)⋅adj(A)=11⋅(−24−185−20−15−4−511)=(−24−185−20−15−4−511)
このようにして、逆行列を計算することができます。
行列の逆行列の公式
では、3×3 行列の逆行列の公式を、小行列式の結果を A11 のように表記して示します。
まず、次のような 3×3 行列 A を考えます:
A=(abcdefghi)
この行列の逆行列 A−1 を求めるための公式は次のようになります。
### ステップ 1: 小行列式を求める
各成分に対する小行列式を次のように定義します:
– A11=ei–fh
– A12=di–fg
– A13=dh–eg
– A21=bi–ch
– A22=ai–cg
– A23=ah–bg
– A31=bf–ce
– A32=af–cd
– A33=ae–bd
### ステップ 2: 余因子行列とその転置
行列 A の余因子行列を作り、その転置を取ります(これを随伴行列と呼びます)。余因子行列の転置は次のようになります:
随伴行列=(A11−A21A31−A12A22−A32A13−A23A33)
これを具体的に展開すると:
随伴行列=(ei–fh−(bi–ch)bf–ce−(di–fg)ai–cg−(af–cd)dh–eg−(ah–bg)ae–bd)
### ステップ 3: 行列式を計算して逆行列を求める
行列 A の行列式 det(A) は次のように計算します:
det(A)=a(ei–fh)–b(di–fg)+c(dh–eg)
逆行列 A−1 は、行列式で随伴行列を割ったものになります:
A−1=1det(A)(A11−A21A31−A12A22−A32A13−A23A33)
### まとめ
したがって、逆行列 A−1 は次のように表されます:
A−1=1a(ei–fh)–b(di–fg)+c(dh–eg)(ei–fh−(bi–ch)bf–ce−(di–fg)ai–cg−(af–cd)dh–eg−(ah–bg)ae–bd)
これが、3×3 行列の逆行列の公式です。
この問題は、行列 A の逆行列を求めるものです。行列 A は次のように与えられています。
A=(100a10bc1)
### 逆行列の計算手順
行列 A のような上三角行列に似た形式の場合、逆行列を求める手順が比較的簡単です。逆行列 A−1 は次のように構成されます。
1. 第1行目はそのまま (1,0,0) です。
2. 第2行目には、a を打ち消すために −a が必要ですので、(−a,1,0) となります。
3. 第3行目には、b と c の影響を打ち消すために ac+b と −c が必要ですので、(ac+b,−c,1) となります。
したがって、逆行列 A−1 は次のようになります。
A−1=(100−a10ac+b−c1)
### 選択肢の確認
選択肢を確認すると、上記の逆行列と一致するのは**選択肢 1**です。
### 答え
**正解は 1.**
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