令和5年度技術士第一次試験問題［基礎科目］問Ⅰ-3-1 3行3列の逆行列を求める

行列 $A$ の逆行列を求める問題です。

行列 $A$ は以下の通りです：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}$

この行列の逆行列を求めるために、一般的な手順を踏みます。まず、行列の積が単位行列になるようにする必要があります。行列 $A$ に行列 $B$ を掛けて単位行列になるようにする行列 $B$ を見つけます。

計算の結果、逆行列は次のようになります：
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac – b & -c & 1 \end{pmatrix}$

したがって、選択肢の中でこれに一致するのは、選択肢の4番です。正解は **④** です。

[解答]④

参考：

順を追って説明してください

行列 $A$ の逆行列を求める順を追った説明です。

行列 $A$ は次のように与えられています：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}$

### ステップ 1: 逆行列 $A^{-1}$ の形式を考える

逆行列 $A^{-1}$ は次の形式を持つはずです：
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix}$

### ステップ 2: 行列の積 $A \cdot A^{-1} = I$ を設定

行列 $A$ とその逆行列 $A^{-1}$ の積が単位行列 $I$ になるようにします：
$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

### ステップ 3: 行列の積を計算

行列の積 $A \cdot A^{-1}$ を計算します：
$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a + x & 1 & 0 \\ b + cy & c + z & 1 \end{pmatrix}$

### ステップ 4: 方程式を解く

積が単位行列になるように、各成分を比較します：
– $a + x = 0$ → $x = -a$
– $c + z = 0$ → $z = -c$
– $b + cy + 0 = 0$ → $y = ac – b$

### ステップ 5: 逆行列を組み立てる

逆行列の成分が揃ったので、逆行列は次のようになります：
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac – b & -c & 1 \end{pmatrix}$

この結果に基づき、選択肢の中でこれに一致するものは ④ です。

なぜ逆行列の形式はこのようになるのですか？

A の逆行列を求めるために、特定の形式を仮定する理由は、逆行列

−
1
A
−1
が

A と同じ形式（例えば、三角行列の形）であることが期待されるためです。ここでは、行列

A が下三角行列に似た形式を持っているため、逆行列も似た形式になると予想します。具体的には、以下の手順を踏みます：

何行何列であっても、逆行列の形式は行列Aと同じ形になりますか？

逆行列の形式が行列 $A$ と同じ形になるかどうかは、行列 $A$ の特定の構造に依存します。特に、行列が上三角行列や下三角行列などの特定の形を持つ場合、その逆行列も同様の形式を持つことがよくあります。しかし、これは一般にすべての行列に当てはまるわけではありません。

例えば、行列 $A$ が対角行列である場合、その逆行列も対角行列です。しかし、一般的な行列の場合、逆行列の形式は元の行列と異なることがあります。

ここで考えている行列 $A$ は下三角行列に似た形をしており、その逆行列も同様に下三角行列の形を保つことが期待されます。しかし、これは行列の特定の構造に依存するため、他の形の行列に対してはこの形式が適用されない場合もあります。

### 一般的な場合の逆行列の求め方

1. **行列 $A$ の行列式を計算**：行列の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です。
2. **随伴行列を計算**：行列 $A$ の各要素の余因子行列を求め、それを転置します。
3. **逆行列を求める**：行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、行列式を用いて $\frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{随伴行列}$ として求めます。

この手順に従えば、任意の形の行列 $A$ に対して逆行列を求めることができます。

逆行列の公式を詳しく解説してください

逆行列を求める公式について詳しく説明します。

### 逆行列の定義
行列 $A$ が $n \times n$ の正方行列で、その逆行列 $A^{-1}$ が存在する場合、次の関係が成り立ちます：
$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
ここで、 $I$ は $n \times n$ の単位行列です。

### 逆行列の求め方
逆行列を求めるためには、以下の手順を踏みます。

#### 1. 行列式を計算する
行列 $A$ の行列式 $\text{det}(A)$ を計算します。行列 $A$ の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です：
$\text{det}(A) \neq 0$

#### 2. 随伴行列を求める
行列 $A$ の随伴行列（アジョイント行列） $\text{adj}(A)$ を求めます。これには以下の手順を含みます：
– **小行列式を計算**：行列 $A$ の各要素に対応する小行列式を計算します。
– **余因子行列を作成**：小行列式に符号をかけて余因子行列 $C$ を作成します。
– **転置行列**：余因子行列の転置行列が随伴行列 $\text{adj}(A)$ です。

#### 3. 逆行列を求める
行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ は、次の公式で求められます：
$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$

### 例：具体的な行列での逆行列の計算
具体例として、3×3行列の逆行列を求める手順を示します。

#### 例：行列 $A$
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

1. **行列式の計算**：
$\text{det}(A) = 1(1 \cdot 0 – 4 \cdot 6) – 2(0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) + 3(0 \cdot 6 – 1 \cdot 5) = 1(0 – 24) – 2(0 – 20) + 3(0 – 5) = -24 + 40 – 15 = 1$

2. **随伴行列の計算**：
– 小行列式を計算し、余因子行列を作成：
$C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 – 4 \cdot 6 & -(0 \cdot 0 – 4 \cdot 5) & 0 \cdot 6 – 1 \cdot 5 \\ -(2 \cdot 0 – 3 \cdot 6) & 1 \cdot 0 – 3 \cdot 5 & -(1 \cdot 2 – 3 \cdot 1) \\ 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 & -(1 \cdot 4 – 0 \cdot 1) & 1 \cdot 1 – 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & -20 & -5 \\ -18 & -15 & 1 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix}$
– 転置行列を求める：
$\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & -4 \\ -5 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

3. **逆行列を求める**：
$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & -4 \\ -5 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & -4 \\ -5 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

このようにして、逆行列を計算することができます。

行列の逆行列の公式

では、 $3 \times 3$ 行列の逆行列の公式を、小行列式の結果を $A_{11}$ のように表記して示します。

まず、次のような $3 \times 3$ 行列 $A$ を考えます：

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

この行列の逆行列 $A^{-1}$ を求めるための公式は次のようになります。

### ステップ 1: 小行列式を求める
各成分に対する小行列式を次のように定義します：

– $A_{11} = ei – fh$
– $A_{12} = di – fg$
– $A_{13} = dh – eg$
– $A_{21} = bi – ch$
– $A_{22} = ai – cg$
– $A_{23} = ah – bg$
– $A_{31} = bf – ce$
– $A_{32} = af – cd$
– $A_{33} = ae – bd$

### ステップ 2: 余因子行列とその転置
行列 $A$ の余因子行列を作り、その転置を取ります（これを随伴行列と呼びます）。余因子行列の転置は次のようになります：

$\text{随伴行列} = \begin{pmatrix} A_{11} & -A_{21} & A_{31} \\ -A_{12} & A_{22} & -A_{32} \\ A_{13} & -A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$

これを具体的に展開すると：

$\text{随伴行列} = \begin{pmatrix} ei – fh & -(bi – ch) & bf – ce \\ -(di – fg) & ai – cg & -(af – cd) \\ dh – eg & -(ah – bg) & ae – bd \end{pmatrix}$

### ステップ 3: 行列式を計算して逆行列を求める
行列 $A$ の行列式 $\det(A)$ は次のように計算します：

$\det(A) = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)$

逆行列 $A^{-1}$ は、行列式で随伴行列を割ったものになります：

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} A_{11} & -A_{21} & A_{31} \\ -A_{12} & A_{22} & -A_{32} \\ A_{13} & -A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$

### まとめ
したがって、逆行列 $A^{-1}$ は次のように表されます：

$A^{-1} = \frac{1}{a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)} \begin{pmatrix} ei – fh & -(bi – ch) & bf – ce \\ -(di – fg) & ai – cg & -(af – cd) \\ dh – eg & -(ah – bg) & ae – bd \end{pmatrix}$

これが、 $3 \times 3$ 行列の逆行列の公式です。

この問題は、行列 $A$ の逆行列を求めるものです。行列 $A$ は次のように与えられています。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}$

### 逆行列の計算手順

行列 $A$ のような上三角行列に似た形式の場合、逆行列を求める手順が比較的簡単です。逆行列 $A^{-1}$ は次のように構成されます。

1. 第1行目はそのまま $(1, 0, 0)$ です。
2. 第2行目には、 $a$ を打ち消すために $-a$ が必要ですので、 $(-a, 1, 0)$ となります。
3. 第3行目には、 $b$ と $c$ の影響を打ち消すために $ac + b$ と $-c$ が必要ですので、 $(ac + b, -c, 1)$ となります。