行列 AA の逆行列を求める問題です。

行列 AA は以下の通りです:
A=(100a10bc1)A=100a10bc1

この行列の逆行列を求めるために、一般的な手順を踏みます。まず、行列の積が単位行列になるようにする必要があります。行列 AA に行列 BB を掛けて単位行列になるようにする行列 BB を見つけます。

計算の結果、逆行列は次のようになります:
A1=(100a10acbc1)A1=100a10acbc1

したがって、選択肢の中でこれに一致するのは、選択肢の4番です。正解は **④** です。

[解答]④

参考:

順を追って説明してください

行列 AA の逆行列を求める順を追った説明です。

行列 AA は次のように与えられています:
A=(100a10bc1)A=100a10bc1

### ステップ 1: 逆行列 A1A1 の形式を考える

逆行列 A1A1 は次の形式を持つはずです:
A1=(100x10yz1)A1=100x10yz1

### ステップ 2: 行列の積 AA1=IAA1=I を設定

行列 AA とその逆行列 A1A1 の積が単位行列 II になるようにします:
AA1=(100a10bc1)(100x10yz1)=(100010001)AA1=100a10bc1100x10yz1=100010001

### ステップ 3: 行列の積を計算

行列の積 AA1AA1 を計算します:
AA1=(100a10bc1)(100x10yz1)=(100a+x10b+cyc+z1)AA1=100a10bc1100x10yz1=100a+x10b+cyc+z1

### ステップ 4: 方程式を解く

積が単位行列になるように、各成分を比較します:
a+x=0a+x=0x=ax=a
c+z=0c+z=0z=cz=c
b+cy+0=0b+cy+0=0y=acby=acb

### ステップ 5: 逆行列を組み立てる

逆行列の成分が揃ったので、逆行列は次のようになります:
A1=(100a10acbc1)A1=100a10acbc1

この結果に基づき、選択肢の中でこれに一致するものは ④ です。

なぜ逆行列の形式はこのようになるのですか?

A の逆行列を求めるために、特定の形式を仮定する理由は、逆行列


1
A
−1

A と同じ形式(例えば、三角行列の形)であることが期待されるためです。ここでは、行列

A が下三角行列に似た形式を持っているため、逆行列も似た形式になると予想します。具体的には、以下の手順を踏みます:

何行何列であっても、逆行列の形式は行列Aと同じ形になりますか?

逆行列の形式が行列 AA と同じ形になるかどうかは、行列 AA の特定の構造に依存します。特に、行列が上三角行列や下三角行列などの特定の形を持つ場合、その逆行列も同様の形式を持つことがよくあります。しかし、これは一般にすべての行列に当てはまるわけではありません。

例えば、行列 AA が対角行列である場合、その逆行列も対角行列です。しかし、一般的な行列の場合、逆行列の形式は元の行列と異なることがあります。

ここで考えている行列 AA は下三角行列に似た形をしており、その逆行列も同様に下三角行列の形を保つことが期待されます。しかし、これは行列の特定の構造に依存するため、他の形の行列に対してはこの形式が適用されない場合もあります。

### 一般的な場合の逆行列の求め方

1. **行列 AA の行列式を計算**:行列の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です。
2. **随伴行列を計算**:行列 AA の各要素の余因子行列を求め、それを転置します。
3. **逆行列を求める**:行列 AA の逆行列 A1A1 は、行列式を用いて 1det(A)×随伴行列 として求めます。

この手順に従えば、任意の形の行列 A に対して逆行列を求めることができます。

逆行列の公式を詳しく解説してください

逆行列を求める公式について詳しく説明します。

### 逆行列の定義
行列 An×n の正方行列で、その逆行列 A1 が存在する場合、次の関係が成り立ちます:
AA1=A1A=I
ここで、In×n の単位行列です。

### 逆行列の求め方
逆行列を求めるためには、以下の手順を踏みます。

#### 1. 行列式を計算する
行列 A の行列式 det(A) を計算します。行列 A の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です:
det(A)0

#### 2. 随伴行列を求める
行列 A の随伴行列(アジョイント行列) adj(A) を求めます。これには以下の手順を含みます:
– **小行列式を計算**:行列 A の各要素に対応する小行列式を計算します。
– **余因子行列を作成**:小行列式に符号をかけて余因子行列 C を作成します。
– **転置行列**:余因子行列の転置行列が随伴行列 adj(A) です。

#### 3. 逆行列を求める
行列 A の逆行列 A1 は、次の公式で求められます:
A1=1det(A)adj(A)

### 例:具体的な行列での逆行列の計算
具体例として、3×3行列の逆行列を求める手順を示します。

#### 例:行列 A
A=(123014560)

1. **行列式の計算**:
det(A)=1(1046)2(0045)+3(0615)=1(024)2(020)+3(05)=24+4015=1

2. **随伴行列の計算**:
– 小行列式を計算し、余因子行列を作成:
C=(1046(0045)0615(2036)1035(1231)2431(1401)1102)=(2420518151541)
– 転置行列を求める:
adj(A)=CT=(2418520154511)

3. **逆行列を求める**:
A1=1det(A)adj(A)=11(2418520154511)=(2418520154511)

このようにして、逆行列を計算することができます。

行列の逆行列の公式

では、3×3 行列の逆行列の公式を、小行列式の結果を A11 のように表記して示します。

まず、次のような 3×3 行列 A を考えます:

A=(abcdefghi)

この行列の逆行列 A1 を求めるための公式は次のようになります。

### ステップ 1: 小行列式を求める
各成分に対する小行列式を次のように定義します:

A11=eifh
A12=difg
A13=dheg
A21=bich
A22=aicg
A23=ahbg
A31=bfce
A32=afcd
A33=aebd

### ステップ 2: 余因子行列とその転置
行列 A の余因子行列を作り、その転置を取ります(これを随伴行列と呼びます)。余因子行列の転置は次のようになります:

随伴行列=(A11A21A31A12A22A32A13A23A33)

これを具体的に展開すると:

随伴行列=(eifh(bich)bfce(difg)aicg(afcd)dheg(ahbg)aebd)

### ステップ 3: 行列式を計算して逆行列を求める
行列 A の行列式 det(A) は次のように計算します:

det(A)=a(eifh)b(difg)+c(dheg)

逆行列 A1 は、行列式で随伴行列を割ったものになります:

A1=1det(A)(A11A21A31A12A22A32A13A23A33)

### まとめ
したがって、逆行列 A1 は次のように表されます:

A1=1a(eifh)b(difg)+c(dheg)(eifh(bich)bfce(difg)aicg(afcd)dheg(ahbg)aebd)

これが、3×3 行列の逆行列の公式です。

 

 

この問題は、行列 A の逆行列を求めるものです。行列 A は次のように与えられています。

A=(100a10bc1)

### 逆行列の計算手順

行列 A のような上三角行列に似た形式の場合、逆行列を求める手順が比較的簡単です。逆行列 A1 は次のように構成されます。

1. 第1行目はそのまま (1,0,0) です。
2. 第2行目には、a を打ち消すために a が必要ですので、(a,1,0) となります。
3. 第3行目には、bc の影響を打ち消すために ac+bc が必要ですので、(ac+b,c,1) となります。

したがって、逆行列 A1 は次のようになります。

A1=(100a10ac+bc1)

### 選択肢の確認
選択肢を確認すると、上記の逆行列と一致するのは**選択肢 1**です。

### 答え
**正解は 1.**

 

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