弾性ひずみエネルギーは

$　U = \frac{ 1 }{ 2 }Pλ=\frac{ 1 }{ 2 }Pλ=\frac{ P^2L }{ 2EA }$

λ：伸び

太い丸棒：$　U_1= \frac{ P^2L }{ 2Eπd^2 }$

細い丸棒：$　U_2= \frac{ 2P^2L }{ Eπd^2 }$

よって、全体の弾性ひずみエネルギーは

$U= \frac{ 5P^2L }{ 2Eπd^2 }$

[解答]　④

参考：ひずみエネルギーとは？1分でわかる意味、公式の求め方、せん断との関係

平成26年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-7　カスチリアノの定理を用いてひずみエネルギーから反力を求める例題

ひずみエネルギーの公式の導出を教えて下さい

 

いいですね。軸力部材の「ひずみエネルギー」
[
U=\int_V \frac{\sigma^2}{2E},dV=\int_0^L \frac{N(x)^2}{2E,A(x)},dx
]
がどこから出るかを、最短ルートで導きます。

1) 応力–ひずみ曲線の面積から導く（基本）

• 体積要素 (dV) に、縦ひずみ (\varepsilon) を徐々に与えると、要素にする仕事の増分は
  [
  dU = \sigma , d\varepsilon , dV
  ]
  （単位体積あたりの外力のする仕事＝応力×ひずみ増分）。
• 0 から (\varepsilon) まで積分すると、単位体積あたりのひずみエネルギー密度
  [
  w(\varepsilon)=\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\tilde \varepsilon),d\tilde \varepsilon
  ]
  つまり応力–ひずみ曲線の“下の面積”です。
• 線形弾性（フックの法則 (\sigma=E\varepsilon)）なら
  [
  w=\int_0^\varepsilon E\tilde\varepsilon,d\tilde\varepsilon
  =\frac12 E\varepsilon^2
  =\frac{\sigma^2}{2E}.
  ]
• 体積全体で積分して
  [
  U=\int_V w,dV=\int_V \frac{\sigma^2}{2E},dV.
  ]

2) 軸力部材への適用

長さ方向 (x) の棒に軸力 (N(x))、断面積 (A(x)) が作用するとき

• 軸応力：(\sigma(x)=\dfrac{N(x)}{A(x)})
• 体積要素：(dV=A(x),dx)

を 1) に代入：
[
U=\int_0^L \frac{1}{2E}\Big(\frac{N(x)}{A(x)}\Big)^2 A(x),dx
=\int_0^L \frac{N(x)^2}{2E,A(x)},dx.
]
断面一定 (A)、軸力一定 (N=P) なら
[
U=\frac{P^2L}{2EA}.
]

3) “外力のする仕事”からの導き（等価性の確認）

線形弾性で荷重を 0→(P) へ比例載荷すると、対応する変位は 0→(\delta) へ比例。
外力の仕事は三角形の面積：
[
U = \int_0^P \delta(\tilde P),d\tilde P
= \int_0^P \frac{\tilde P}{P},\delta,d\tilde P
= \frac12 P\delta.
]
一方、軸棒の伸び (\delta=\dfrac{PL}{EA})。よって
[
U=\frac12 P\delta=\frac{P^2L}{2EA},
]
で 2) と一致。
（この関係から Castigliano：(\displaystyle \delta=\frac{\partial U}{\partial P}) も得られます。）

4) 他の基本形式（参考）

同じ手順で「曲げ・ねじり・せん断」も求まります。

• 曲げ：曲率 (\kappa=M/(EI))，単位長さのエネルギー密度 (\dfrac{M^2}{2EI})
  [
  U_{\text{bend}}=\int \frac{M(x)^2}{2E I(x)},dx.
  ]
• ねじり：(\theta’ = T/(GJ))
  [
  U_{\text{tors}}=\int \frac{T(x)^2}{2GJ(x)},dx.
  ]
• せん断（工学せん断面積 (A_s) 使用）：
  [
  U_{\text{shear}}=\int \frac{V(x)^2}{2G A_s(x)},dx.
  ]

5) よくある落とし穴

• 比例載荷でない・塑性域では (\tfrac12 P\delta) は使えません。必ず (\int \sigma,d\varepsilon)（あるいは (\int \delta,dP)）で求めます。
• 複数部材が直列なら (U) は和、並列なら各部材の力分担を解いてから積分してください。
• 異材（(E) が区間で異なる）や断面変化（(A(x)) 変化）も公式にそのまま入れればOKです。

この導出をそのまま使うと、前問の段付き棒も
[
U=\frac{P^2}{2E}\left(\frac{l}{\pi d^2}+\frac{l}{\pi d^2/4}\right)
=\frac{5P^2l}{2\pi d^2E}
]
と即座に出せます。

仕事は応力×ひずみ増分なら、全く変形しないものならどれだけ外力をかけても0ですね

とても良い着眼点です。
「応力 × ひずみ増分」が仕事（単位体積あたりのエネルギー増分）なら、
“変形しないもの”はたとえ大きな外力を加えてもひずみが0だから仕事は0、
──確かにその通りです。これを少し丁寧に整理してみましょう。

---

① 弾性体の仕事の基本式

微小変形のとき、外力が物体を変形させる際の単位体積あたりの仕事（エネルギー）は

[
dw = \sigma, d\varepsilon
]

です。
外力を加えても変形（＝ひずみ）を生じないなら (d\varepsilon = 0)、
したがって
[
dw = 0 \quad \Rightarrow \quad U = \int dw = 0
]

になります。

---

② 「力をかけても変形しない」例

たとえば完全に剛体（(E \to \infty)）を考えると、同じ外力 (P) でも
[
\varepsilon = \frac{\sigma}{E} \to 0
]
なのでひずみエネルギー密度
[
w = \frac{\sigma^2}{2E} \to 0
]
です。
つまり剛体は「どんなに大きな応力を受けても弾性変形エネルギーをためない」──
これは「外力がしている仕事が、変形エネルギーにならない」ことを意味します。
実際の剛体は存在しませんが、理想剛体の仮定のもとでは外力を加えても変形0、したがって仕事0というのは正しい理解です。

---

③ ただし「外力がかけられる＝系として何かは動いている」

注意すべきは、
“全体がまったく変形しない”という理想的な剛体でも、
外力を加えるためには力の作用点が動く余地があるかどうかが重要です。

• もし両端が完全固定されていて剛体であれば、力を増加させること自体ができません（無限大の反力が必要）。
• もし力をかける側（外の機構）が動いて力を発生しているなら、そちら側にエネルギーが残る（弾性体側には入りません）。

したがって、「剛体にはエネルギーが蓄えられない＝外部が全ての仕事を吸収する」わけです。

---

④ 弾性体との違い（図でイメージ）

状況	変形	ひずみエネルギー (U)	外力がした仕事
剛体	0	0	0（力をかけられない）または他で吸収
弾性体	微小	(U=\frac{1}{2}P\delta)	外力仕事 = 蓄えエネルギー
塑性体	有限	(U_{\text{弾性}} + U_{\text{塑性}})	一部は永久変形や熱へ

---

⑤ まとめ

• 弾性エネルギーは「変形によってのみ」生じる。
• 剛体（変形ゼロ）ではひずみエネルギーはゼロ。
• 外力をいくら加えても、変形しないなら「エネルギーが蓄えられない」＝仕事はゼロ。

---

もし「力は増えているのに仕事が0になる直感」がつかみにくければ、
次のように考えるとよいです：

仕事 = 力 × 変位
力がどんなに大きくても、変位（ひずみ）がゼロなら仕事はゼロ。
つまり「押してもびくともしない壁に力を入れても疲れるだけで壁には仕事をしていない」という日常的な現象と同じ理屈です。

応力×変位より力×変位ですか？

 

 

とても良い質問です。
はい、基本的には 「応力×ひずみ」ではなく『力×変位』が仕事（エネルギー） の基本形です。

---

1. 仕事の基本定義

力学の最も基本的な定義は：

[
\text{仕事} = \text{力} \times \text{変位（その力の方向成分）}
]

微小変位を考えるときは

[
dW = F , dx
]

これが**“力×変位”** の本質的な形です。
したがって、たとえ力 (F) がどんなに大きくても、変位 (dx=0) なら (dW=0)。
→ 変形しないものには仕事がなされません。

---

2. 応力×ひずみの式との関係

応力やひずみは「単位体積あたり」の表現にしたものです。

力 (F)、変位 (dx) を断面積 (A)、長さ (L) で割ると：

[
\sigma = \frac{F}{A}, \quad \varepsilon = \frac{dx}{L}
]

これらを使うと、単位体積あたりの仕事 (dw) は

[
dw = \frac{dW}{A,dx} = \frac{F,dx}{A,dx} = \frac{F}{A}\cdot \frac{dx}{L} = \sigma , d\varepsilon
]

となり、
これが 「応力×ひずみ増分」＝単位体積あたりの仕事（エネルギー密度）」 です。

つまり：

見方	変数	意味
全体で見る	(dW = F,dx)	仕事（力×変位）
単位体積で見る	(dw = \sigma,d\varepsilon)	エネルギー密度（応力×ひずみ）

---

3. つながりのまとめ

[
\boxed{
\text{全体エネルギー } U = \int F,dx
= \int_V \sigma,d\varepsilon,dV
}
]

したがって、

• 応力×ひずみは「単位体積あたりのエネルギー」
• 力×変位は「全体のエネルギー（仕事）」

というだけで、本質は同じ式を別のスケールで表しているにすぎません。

---

4. 日常的なたとえ

壁を押しても壁が動かないとき：

• 力 (F) はある。
• 変位 (dx=0)。
• よって (W=Fdx=0)。

同じように、弾性体でも変形（ひずみ）がなければエネルギーは生まれません。

---

要するに、

仕事の基本は「力×変位」、
それを単位体積で表すと「応力×ひずみ」になる
という関係です。

\frac{F\,dx}{A\,dx} = \frac{F}{A}\cdot \frac{dx}{L} = \sigma \, d\varepsilon の式変形を詳しく解説して下さい

 

いい質問です。まず、記号の役割を整理してから、式変形を一歩ずつやります。
（混乱の原因は、(dx) を「長さの微小要素」と「端部変位の微小量」の両方に使ってしまうことにあります。ここでは端部の微小変位を (,d\delta,) と書き分けます。）

---

1) 「全体」での導出（最も素直）

長さ (L)、断面積 (A) の一様な棒に軸力 (F)。端部変位の微小増分を (d\delta) とすると、
外力の微小仕事は

[
dW = F, d\delta .
]

体積は (V=AL) なので、単位体積あたりの微小エネルギーは

[
dw ;=; \frac{dW}{V}
;=; \frac{F,d\delta}{A,L}
;=; \frac{F}{A},\frac{d\delta}{L}.
]

ここで

[
\sigma=\frac{F}{A},\qquad \varepsilon=\frac{\delta}{L}\ \Rightarrow\ d\varepsilon=\frac{d\delta}{L},
]

より

[
\boxed{,dw = \sigma, d\varepsilon, } .
]

これが「応力×ひずみ増分＝（単位体積あたりの）仕事」の意味です。
（積分すれば (w=\int_0^\varepsilon \sigma,d\varepsilon) で、弾性なら (w=\tfrac12 E\varepsilon^2=\tfrac{\sigma^2}{2E})。）

---

2) 「微小要素」での導出（断面一定の棒の一部を取る）

棒の中の微小要素（厚さ (dx)、断面 (A)）を取り、軸方向変位場を (u(x)) とします。
その要素に外力がする微小仕事は

[
dW_{\text{elem}} = F, du = (\sigma A),du .
]

要素体積は (dV = A,dx)。したがって単位体積あたりの微小エネルギーは

[
dw
= \frac{dW_{\text{elem}}}{dV}
= \frac{\sigma A,du}{A,dx}
= \sigma,\frac{du}{dx}.
]

ひずみは (\varepsilon = \dfrac{du}{dx}) ですから、比例載荷の微小増分を考えれば

[
\boxed{,dw=\sigma, d\varepsilon, } .
]

ここでのポイント：
(\dfrac{F,dx}{A,dx}) のように同じ (dx) を分子で「変位」、分母で「長さ要素」に使うと意味が混ざってしまいます。
変位の微小量は (d\delta)（端部）や (du)（局所）と分けて書くのが安全です。

---

3) まとめ

• 仕事の基本は 力×変位：(dW=F,d\delta)。
• 単位体積で見れば 応力×ひずみ増分：(dw=\sigma,d\varepsilon)。
• どちらも同じ内容を「全体」か「密度」かで表しただけ。
• 記号は 変位（(d\delta,,du)）と 長さ要素（(dx)）を混同しないことがコツです。

 

• 体積全体で積分して U=\int_V w\,dV=\int_V \frac{\sigma^2}{2E}\,dV. とはどうですか？

 

 

とても良いポイントです。
式
[
U = \int_V w,dV = \int_V \frac{\sigma^2}{2E},dV
]
は、先ほど説明した「応力×ひずみ増分」から出てくる全体のひずみエネルギーの一般式です。
これを順を追って導出してみましょう。

---

1. 単位体積あたりのひずみエネルギー密度 ( w )

フックの法則（線形弾性体）では
[
\sigma = E \varepsilon
]
です。

微小な増分に対して、単位体積あたりの仕事（エネルギー増分）は
[
dw = \sigma, d\varepsilon
]

これを 0 から最終ひずみ (\varepsilon) まで積分すると：
[
w = \int_0^{\varepsilon} \sigma, d\varepsilon
= \int_0^{\varepsilon} E\varepsilon’, d\varepsilon’
= \frac{1}{2} E \varepsilon^2
]

または (\sigma = E\varepsilon) を代入して
[
\boxed{w = \frac{\sigma^2}{2E}}
]

---

2. 体積全体で積分する理由

今の (w) は「単位体積あたりのエネルギー密度」です。
物体全体での総エネルギー（ひずみエネルギー）は、それを体積全体で積分したものです：

[
\boxed{U = \int_V w, dV}
]

これを上の式に代入すれば：

[
U = \int_V \frac{\sigma^2}{2E}, dV
]

となります。

---

3. 応力や断面積が一様な場合

もし応力 (\sigma)、弾性係数 (E) が全域で一定なら、積分の外に出せるので：

[
U = \frac{\sigma^2}{2E} \int_V dV
= \frac{\sigma^2}{2E} V
]

体積 (V = A L)、また (\sigma = \dfrac{F}{A}) なので：

[
U = \frac{(F/A)^2}{2E} A L
= \frac{F^2 L}{2 E A}
]

これが先ほど導いた棒のひずみエネルギー式です。

---

4. 応力が分布している場合

もし応力が位置によって変わる（例：曲げやねじりなど）なら、
その分布を考慮して体積積分を行います：

• 曲げの場合：(\sigma = \dfrac{M y}{I})
  [
  U = \int_V \frac{1}{2E}\left(\frac{M y}{I}\right)^2,dV
  = \int \frac{M^2}{2E I},dx
  ]
• ねじりの場合：(\tau = \dfrac{T r}{J})
  [
  U = \int_V \frac{\tau^2}{2G},dV
  = \int \frac{T^2}{2G J},dx
  ]

このように、
[
U = \int_V \frac{\sigma^2}{2E},dV
]
という形は「物体内の応力分布を考慮した最も一般的なひずみエネルギーの式」です。

---

5. まとめ

量	意味	単位
(w = \frac{\sigma^2}{2E})	単位体積あたりのひずみエネルギー密度	J/m³
(U = \int_V w,dV)	物体全体のひずみエネルギー	J

✅ つまり
「全体のエネルギー」は、「局所エネルギー密度」を体積で足し合わせたもの。
[
U = \int_V \frac{\sigma^2}{2E},dV
]
は、ひずみエネルギーの最も基本的かつ一般的な表現式です。

体積全体で積分するのは、全体が伸びるからですか？

 

 

はい、まさにその理解で正しいです。
ただし、もう少し厳密に言うと、
「全体が一様に伸びるから」ではなく、
「各部分がそれぞれ異なる応力・ひずみをもって伸びるから、それらを足し合わせる（積分する）」
というのが正確な理由です。

順に整理しますね。

---

1. 物体の中では「場所によって」変形量が違う

たとえば棒の一部分を取ってみると、
その位置 (x) での応力・ひずみは一般に次のように変わることがあります：

[
\sigma = \sigma(x), \quad \varepsilon = \varepsilon(x)
]

断面積 (A(x)) も変わるかもしれません。

→ つまり、棒のどの部分も同じように伸びるとは限らない。

---

2. 各「微小部分」ごとにエネルギーが貯まる

そのため、棒の中の微小要素（厚さ (dx)、体積 (dV = A(x),dx)）ごとに
ひずみエネルギー密度（単位体積あたりのエネルギー）

[
w(x) = \frac{\sigma(x)^2}{2E}
]

を考え、それを体積要素 (dV) で掛け算します。

[
dU = w(x),dV = \frac{\sigma(x)^2}{2E},dV
]

これがその小部分に貯えられた弾性エネルギーです。

---

3. 「全体で積分する」意味

物体全体の弾性エネルギーは、そのすべての微小部分のエネルギーの和です。

つまり：

[
U = \int_V dU = \int_V \frac{\sigma(x)^2}{2E},dV
]

これが「体積全体で積分する」理由です。
もし棒の中で応力・断面・材質（E）が一様なら、積分の結果は単に
[
U = \frac{\sigma^2}{2E}V
]
となり、先ほどの式と一致します。

---

4. イメージで言うと

• 材料の各部分が「ばね」のように少しずつ伸びて、
• それぞれが微小な弾性エネルギーをため、
• それを全体で合計して（積分して）全体のエネルギーを求める。

ということです。

「全体が伸びるから積分する」というより、
「全体の中のすべての微小部分が、それぞれ伸びてエネルギーをもっているから、それらを全部足す」
という意味で積分しています。

---

5. まとめ

観点	意味
ひずみエネルギー密度 (w=\frac{\sigma^2}{2E})	各点での“単位体積あたり”のエネルギー
体積積分 (U=\int_V w,dV)	物体全体の“総エネルギー”
積分する理由	各部分が異なる応力・ひずみをもって変形するため、それらを合計する必要がある

---

まとめの一言

「体積全体で積分するのは、全体が伸びるから」でも間違いではありません。
でもより正確には、“全体の中のすべての点がそれぞれ微小に伸びているから”、
その局所的なエネルギーを足し合わせるために積分するのです。

 

線形弾性（フックの法則 = σ=Eε）なら = ∫ 0 ~   ~ = 1 2 2 = 2 2 . w=∫ 0 ε​E ε ~ d ε ~ = 2 1​Eε 2 = 2E σ 2​. 体積全体で積分して = ∫   = ∫ 2 2   . U=∫ V​wdV=∫ V​2E σ 2​dV. ここの解釈は歪があった部分だけのエネルギーの増分を体積に積分しているのですね

 

はい、まったくその通りです！
非常に正確な理解です。

あなたが書かれた
[
U = \int_V w,dV = \int_V \frac{\sigma^2}{2E},dV
]
という式は、
「ひずみ（変形）が実際に生じている部分」だけのエネルギーを、体積全体で足し合わせている
──つまり「局所的なエネルギーの増分の積分」を意味しています。

---

もう少し物理的に噛み砕くと

1. (dw = \sigma,d\varepsilon)
   →　「その点がほんの少し変形したときに、応力がした微小仕事」
2. (w = \int_0^\varepsilon \sigma,d\varepsilon = \frac12 E\varepsilon^2)
   →　「その点が最初から今のひずみになるまでに蓄えた弾性エネルギー」
3. (U = \int_V w,dV)
   →　「全体の中で、各点がもっているエネルギー（密度）を合計」

---

イメージ図で表すと

棒の中の各点  ──┬─ 微小ひずみ ε(x)
                    │
                    ├─ 応力 σ(x)
                    │
                    └─ エネルギー密度 w(x)=σ(x)²/(2E)

→ これを全体にわたって足し合わせ（積分）ると、
棒全体の弾性ひずみエネルギー (U) になります。

---

重要なポイント

• 積分しているのは「空間的な和」ですが、
  その中身 (w) は「変形エネルギーの密度（応力–ひずみの履歴）」です。
• つまり
  

  「どこがどれだけひずんだか」
  をエネルギー的に評価して合計している。

• 変形していない部分（(\varepsilon = 0)）では (w = 0)。
  したがってそこは積分しても寄与しません。

---

結論（あなたの理解を一言でまとめると）

ひずみエネルギー (U) は、
「各点で発生した弾性変形によるエネルギーの増分（＝(\frac{\sigma^2}{2E})）」を
物体の体積全体にわたって積分（空間的に合計）したもの。

つまり、あなたの解釈──

「ひずみがあった部分だけのエネルギーの増分を体積に積分している」
──は完全に正しいです。