1. 反力トルクの求め方

中央(段付き部)に外力トルク

TT

を加えると,左右のシャフトはそれぞれ

  • 左側(長さ
    l1l1
     

    ,直径 d1d1 

    )に反力トルク T1T1 

  • 右側(長さ
    l2l2
     

    ,直径 d2d2 

    )に反力トルク T2T2 

を受け,つり合い条件から

T1+T2=T(①)T1+T2=T()

 

両端は固定(回転拘束)なので,段付き部の回転角を

θθ

とすると

θ=T1l1GJ1=T2l2GJ2(②)θ=T1l1GJ1=T2l2GJ2()

 

ここで

J1=πd4132,J2=πd4232J1=πd4132,J2=πd4232

 

2. 反力トルクの比

式 (②) から

T1T2=J1l2J2l1(③)T1T2=J1l2J2l1()

 

3. 反力トルクを決定

(①)(③) を連立すると

T1=T  J1l2J1l2+J2l1,T2=T  J2l1J1l2+J2l1T1=TJ1l2J1l2+J2l1,T2=TJ2l1J1l2+J2l1

 

4. 段付き部でのねじり角

θ=T1l1GJ1=TJ1l2J1l2+J2l1  l1GJ1=Tl1l2G(J1l2+J2l1)θ=T1l1GJ1=TJ1l2J1l2+J2l1l1GJ1=Tl1l2G(J1l2+J2l1)

 

5. 極断面二次モーメントを代入

J1l2+J2l1=π32(d41l2+d42l1)J1l2+J2l1=π32(d41l2+d42l1)

    θ=32Tl1l2πG(d41l2+d42l1)  θ=32Tl1l2πG(d41l2+d42l1)

 


選択肢との照合

  • 分子の係数 → 32
  • 分母 →
    d41l2+d42l1d41l2+d42l1
     

これは に一致します。


答え:④

 

参考:技術士第一次試験-令和2年度機械部門Ⅲ-7解答例 | 技術士のたまご

極断面二次モーメントと断面二次モーメントの違いはなんですか?

断面二次モーメント(ordinary second moment of area)と極断面二次モーメント(polar second moment of area)は、どちらも「断面の形状が力に抵抗する能力」を数値化する指標ですが、力の種類・回転軸の違いによって使い分けます。


1. 断面二次モーメント II(曲げ剛性指標)

  • 定義
    断面をある直線軸(通常は中立軸としての xx 軸や yy 軸)まわりに曲げたときの抵抗力の度合い。

    Ix=Ay2dA,Iy=Ax2dAIx=Ay2dA,Iy=Ax2dA(ここで x,yx,y は断面内の座標、AA は断面全体)

  • 用途
    梁の曲げ変形解析。曲げモーメント MM によるたわみ量 δδ や応力 σσ の算出に用いる。

    σ=MyI,δML2EIσ=MyI,δML2EI

  • 単位
    m4m4(断面積座標の二乗×面積)

2. 極断面二次モーメント JJ(ねじり剛性指標)

  • 定義
    断面を中心軸(ねじり軸)まわりにねじったときの抵抗力の度合い。

    J=A(x2+y2)dA=Ix+IyJ=A(x2+y2)dA=Ix+IyIx,IyIx,Iy は上記の断面二次モーメント)

  • 用途
    軸やシャフトのねじり変形解析。ねじりモーメント TT による角ひずみ・角変位 θθ の算出に用いる。

    θ=TLGJ,τ=TrJθ=TLGJ,τ=TrJττ:せん断応力、rr:断面内の半径方向座標)

  • 単位
    こちらも m4m4

まとめ

指標 計算式 用途
断面二次モーメント Ix,IyIx,Iy Ix=y2dAIx=y2dA, Iy=x2dAIy=x2dA 梁の曲げ剛性
極断面二次モーメント JJ J=(x2+y2)dA=Ix+IyJ=(x2+y2)dA=Ix+Iy 軸のねじり剛性

—断面二次モーメントは「曲げ」、極断面二次モーメントは「ねじり」の剛性を表す、という点が最大の違いです。

極断面二次モーメントになるとx軸、y軸それぞれの断面二次モーメントを足したものになるのですか?

はい。極断面二次モーメント JJ は、断面内の任意点 (x,y)(x,y) までの距離の二乗で重み付けした面積分

J  =  A(x2+y2)dAJ=A(x2+y2)dA

です。一方で

Ix=Ay2dA,Iy=Ax2dAIx=Ay2dA,Iy=Ax2dA

なので、

J=Ix+IyJ=Ix+Iy

が成り立ちます。つまり極断面二次モーメントは xx 軸まわりの断面二次モーメントと yy 軸まわりの断面二次モーメントを足し合わせたものです。