1. 反力トルクの求め方
中央(段付き部)に外力トルク
T
を加えると,左右のシャフトはそれぞれ
- 左側(長さ
l1,直径 d1
)に反力トルク T1
- 右側(長さ
l2,直径 d2
)に反力トルク T2
を受け,つり合い条件から
T1+T2=T(①)
両端は固定(回転拘束)なので,段付き部の回転角を
θ
とすると
θ=T1l1GJ1=−T2l2GJ2(②)
ここで
J1=πd4132,J2=πd4232
2. 反力トルクの比
式 (②) から
T1T2=J1l2J2l1(③)
3. 反力トルクを決定
(①)(③) を連立すると
T1=T J1l2J1l2+J2l1,T2=T J2l1J1l2+J2l1
4. 段付き部でのねじり角
θ=T1l1GJ1=TJ1l2J1l2+J2l1 l1GJ1=T l1l2G (J1l2+J2l1)
5. 極断面二次モーメントを代入
J1l2+J2l1=π32(d41l2+d42l1)
∴ θ=32 T l1l2πG(d41l2+d42l1)
選択肢との照合
- 分子の係数 → 32
- 分母 →
d41l2+d42l1
これは ④ に一致します。
答え:④
参考:技術士第一次試験-令和2年度機械部門Ⅲ-7解答例 | 技術士のたまご
極断面二次モーメントと断面二次モーメントの違いはなんですか?
断面二次モーメント(ordinary second moment of area)と極断面二次モーメント(polar second moment of area)は、どちらも「断面の形状が力に抵抗する能力」を数値化する指標ですが、力の種類・回転軸の違いによって使い分けます。
1. 断面二次モーメント I(曲げ剛性指標)
- 定義
断面をある直線軸(通常は中立軸としての x 軸や y 軸)まわりに曲げたときの抵抗力の度合い。Ix=∬Ay2 dA,Iy=∬Ax2 dA(ここで x,y は断面内の座標、A は断面全体)
- 用途
梁の曲げ変形解析。曲げモーメント M によるたわみ量 δ や応力 σ の算出に用いる。σ=M yI,δ∝M L2E I
- 単位
m4(断面積座標の二乗×面積)
2. 極断面二次モーメント J(ねじり剛性指標)
- 定義
断面を中心軸(ねじり軸)まわりにねじったときの抵抗力の度合い。J=∬A(x2+y2) dA=Ix+Iy(Ix,Iy は上記の断面二次モーメント)
- 用途
軸やシャフトのねじり変形解析。ねじりモーメント T による角ひずみ・角変位 θ の算出に用いる。θ=T LG J,τ=T rJ(τ:せん断応力、r:断面内の半径方向座標)
- 単位
こちらも m4
まとめ
指標 | 計算式 | 用途 |
---|---|---|
断面二次モーメント Ix,Iy | Ix=∬y2 dA, Iy=∬x2 dA | 梁の曲げ剛性 |
極断面二次モーメント J | J=∬(x2+y2) dA=Ix+Iy | 軸のねじり剛性 |
—断面二次モーメントは「曲げ」、極断面二次モーメントは「ねじり」の剛性を表す、という点が最大の違いです。
極断面二次モーメントになるとx軸、y軸それぞれの断面二次モーメントを足したものになるのですか?
はい。極断面二次モーメント J は、断面内の任意点 (x,y) までの距離の二乗で重み付けした面積分
J = ∬A(x2+y2) dA
です。一方で
Ix=∬Ay2 dA,Iy=∬Ax2 dA
なので、
J=Ix+Iy
が成り立ちます。つまり極断面二次モーメントは x 軸まわりの断面二次モーメントと y 軸まわりの断面二次モーメントを足し合わせたものです。