この系では「転がり摩擦なし」で回転運動もするので，見かけの慣性質量（有効質量）が

$$m_{\rm eff}=m+\frac{I}{r^{2}}$$

 

と増大します。円板の慣性モーメント

$I=\tfrac12mr^{2}$

なので

$$m_{\rm eff} = m + \frac{\tfrac12mr^{2}}{r^{2}} = m + \frac12m = \frac32\,m.$$

 

ばねの復元力はそのまま

$–kx$

ですから，運動方程式は

$$m_{\rm eff}\,\ddot x + kx = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + \frac{k}{m_{\rm eff}}\,x=0$$

 

したがって固有角振動数は

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m_{\rm eff}}} =\sqrt{\frac{k}{\tfrac32\,m}} =\sqrt{\frac{2k}{3m}}.$$

 

よって正解は ① です。

 

参考：平成26年度技術士第一次試験問題［機械部門］ 専門科目Ⅲ-20 剛体の回転運動、並進運動 | 副業の宮殿【PR】

技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-18解答例 | 技術士のたまご

見かけの慣性質量の求め方を詳しく教えて

以下の手順で，「回転を伴う剛体が平面上を転がりながらばねで引かれる系」を「見かけの慣性質量（有効質量）」

$m_{\rm eff}$

をもつ等価１自由度系として扱う方法を示します。

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1. 系のモデル化

• 質量
  $m$ 

  ，半径

  $r$ 

  の一様な円板（慣性モーメント

  $I=\tfrac12mr^2$ 

  ）が，

• 転がり摩擦なしに「すべりなく」床面上を転がる（非滑り条件：
  $v=\dot x=r\,\omega$ 

  ）。

• 円板の重心位置を
  $x(t)$ 

  （ばねの取付点から右向きを正）とすると，

• ばねは重心に直接はつながらず，重心と壁の間で力だけを伝えるものとみなす。

（図：重心移動

$x$

によるばねの伸び縮みが生じる）

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2. 運動エネルギーの分解

円板の運動エネルギー

$T$

は「平行移動」と「回転」の和：

$$T =\underbrace{\tfrac12\,m\,v^2}_{\text{並進エネルギー}} +\underbrace{\tfrac12\,I\,\omega^2}_{\text{回転エネルギー}}.$$

 

非滑り条件

$v = \dot x$

,

$\omega = v/r = \dot x/r$

を代入すると

$$T = \frac12\,m\,\dot x^2 +\frac12\,I\Bigl(\frac{\dot x}{r}\Bigr)^{2} = \frac12\Bigl(m + \frac{I}{r^2}\Bigr)\dot x^2.$$

 

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3. 有効質量（見かけの慣性質量）の定義

上式はまるで「質量

$m_{\rm eff}$

の質点が並進運動する系」の運動エネルギー

$\displaystyle T=\tfrac12\,m_{\rm eff}\,\dot x^2$

と同じ形をしています。比較して

$$\boxed{ m_{\rm eff} = m + \frac{I}{r^2} }$$

 

を 見かけの慣性質量（effective mass）と呼びます。

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4. 円板の場合

一様円板の慣性モーメントは

$$I = \frac12\,m\,r^2$$

 

なので

$$m_{\rm eff} = m + \frac{\tfrac12 m\,r^2}{r^2} = m + \frac12m = \frac32\,m.$$

 

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5. 等価ばね‐質点系としての運動方程式

ばね定数

$k$

，変位

$x$

による復元力は

$–kx$

。
運動エネルギー

$T=\tfrac12m_{\rm eff}\dot x^2$

からラグランジュ方程式、
またはニュートン法則

$m_{\rm eff}\ddot x + kx=0$

を書くと，

$$\ddot x + \frac{k}{m_{\rm eff}}\,x = 0,$$

 

したがって固有角振動数は

$$\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m_{\rm eff}}} = \sqrt{\frac{k}{(m + I/r^2)}}.$$

 

---

6. 他の剛体での応用

• 中空円筒
  $I=(1/2) m r^2$ 

  と同じ形なので同じ。

• 棒や球 など他の剛体では
  $I$ 

  の式だけ変わり，

  $$m_{\rm eff} = m + \frac{I}{r^2}$$が一般に成り立つ。

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まとめ

「回転を伴う剛体の並進‐回転運動をばね‐質点系に還元するには，運動エネルギーを並進項

$\tfrac12m\dot x^2$＋回転項

$\tfrac12I(\dot x/r)^2$で書き直し，

$\tfrac12m_{\rm eff}\dot x^2$の形にまとめる」。
ここから

$m_{\rm eff}=m+I/r^2$と導かれます。

この考え方は機械構造やロボットのジョイント動解析，慣性カップリングを考慮した制御設計など幅広く使われます。さらに詳細（例えばラグランジュの正式導出や他自由度系での拡張）が必要ならお知らせください。

慣性モーメントはなぜこのような式になるのですか？

慣性モーメント（回転慣性）は，物体を微小質量要素に分割して「各要素の質量 × 回転軸からの距離²」を足し合わせたものとして定義されます。すなわち

$$I \;=\;\sum_i m_i\,r_i^2 \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle I=\int r^2\,\mathrm{d}m.$$

 

円板の場合（厚さは一定で，重心まわりに回る薄い円板を考えます）には，面密度を

$$\sigma=\frac{m}{\pi R^2}\quad(\text{質量}m,\;\text{半径}R)$$

 

と置くと，微小面積要素は

$\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$

なので

$$\mathrm{d}m=\sigma\,\mathrm{d}A =\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.$$

 

よって

$$I =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} r^2\;(\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta) =\sigma\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\sigma\,(2\pi)\,\frac{R^4}{4} =\frac{2\pi\sigma R^4}{4}$$

 

ここで

$\sigma=\dfrac{m}{\pi R^2}$

を代入すると

$$I =\frac{2\pi}{4}\,\frac{m}{\pi R^2}\,R^4 =\frac{1}{2}\,m\,R^2.$$

 

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まとめ

1. 定義：
   $I=\displaystyle\int r^2\,\mathrm{d}m$ 

   。

2. 円板の微小質量：
   $\mathrm{d}m=\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 

   。

3. 積分：
   $\int_0^{2\pi}\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\tfrac{\pi R^4}{2}$ 

   。

4. 結果：
   $\displaystyle I=\tfrac12\,m\,R^2$ 

   。

このように，「面密度」あるいは「体積密度」を使って連続体の各微小要素の contribution を積分すると，円板の慣性モーメントが

$\tfrac12mR^2$

になるわけです。

並進エネルギーのvは重心の移動速度ではなく外周の速度になるのですね？

いいえ、ここでの

$v$

はあくまで 重心の並進速度（重心が動く速さ）を表しています。

• 並進エネルギーの項
  $$\tfrac12\,m\,v^2$$は質量

  $m$の物体が重心を速さ

  $v$で並進するときのエネルギーです。

• 回転エネルギーの項
  $$\tfrac12\,I\,\omega^2$$では角速度

  $\omega$を使いますが、「滑らず転がる」境界条件から

  $$\omega = \frac{v_{\rm com}}{r}$$と書けるため、回転エネルギーも

  $$\tfrac12\,I\Bigl(\frac{v}{r}\Bigr)^2$$の形で

  $v$（重心速度）を用いて表しています。

つまり、

1. 転がり条件：外周の速度
   $v_{\rm edge}=r\omega$ 

   が、
   重心並進速度

   $v_{\rm com}$ 

   に等しい（滑りなし）
   

   $\Rightarrow v_{\rm edge}=v_{\rm com}=v$ 

2. 並進エネルギーは常に「重心が動く速さ」で計算する
3. 回転エネルギーも上記の関係を代入して「重心速度
   $v$ 

   」で表現している

という整理になります。

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ポイントまとめ

• 並進 KE =
  $\tfrac12\,m\,v_{\rm com}^2$ 
• 回転 KE =
  $\tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\,I\,(v_{\rm com}/r)^2$ 
• 「外周の速度が重心速度に等しい」のは回転＋並進の混合運動における非滑り条件によるもの、
  $v$ 

  自体は重心速度です。