この系では「転がり摩擦なし」で回転運動もするので，見かけの慣性質量（有効質量）が meff=m+Ir2m_{\rm eff}=m+\frac{I}{r^{2}}   と増大します。円板の慣性モーメント I=12mr2I=\tfrac12mr^{2} なので meff=m+12mr2r2=m+12m=32 m.m_{\rm eff} = m + \frac{\tfrac12mr^{2}}{r^{2}} = m + \frac12m = \frac32\,m.   ばねの復元力はそのまま –kx–kx ですから，運動方程式は meff x¨+kx=0⟹x¨+kmeff x=0m_{\rm eff}\,\ddot x + kx = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + \frac{k}{m_{\rm eff}}\,x=0   したがって固有角振動数は ω=kmeff=k32 m=2k3m.\omega =\sqrt{\frac{k}{m_{\rm eff}}} =\sqrt{\frac{k}{\tfrac32\,m}} =\sqrt{\frac{2k}{3m}}.   よって正解は ① です。   参考：平成26年度技術士第一次試験問題［機械部門］ 専門科目Ⅲ-20 剛体の回転運動、並進運動 | 副業の宮殿【PR】 技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-18解答例 | 技術士のたまご  

見かけの慣性質量の求め方を詳しく教えて

以下の手順で，「回転を伴う剛体が平面上を転がりながらばねで引かれる系」を「見かけの慣性質量（有効質量）」 meffm_{\rm eff} をもつ等価１自由度系として扱う方法を示します。

1. 系のモデル化

  • 質量 mm  ，半径 rr  の一様な円板（慣性モーメント I=12mr2I=\tfrac12mr^2  ）が，
  • 転がり摩擦なしに「すべりなく」床面上を転がる（非滑り条件： v=x˙=r ωv=\dot x=r\,\omega  ）。
  • 円板の重心位置を x(t)x(t)  （ばねの取付点から右向きを正）とすると，
  • ばねは重心に直接はつながらず，重心と壁の間で力だけを伝えるものとみなす。
（図：重心移動 xx によるばねの伸び縮みが生じる）

2. 運動エネルギーの分解

円板の運動エネルギー TT は「平行移動」と「回転」の和： T=12 m v2⏟並進エネルギー+12 I ω2⏟回転エネルギー.T =\underbrace{\tfrac12\,m\,v^2}_{\text{並進エネルギー}} +\underbrace{\tfrac12\,I\,\omega^2}_{\text{回転エネルギー}}.   非滑り条件 v=x˙v = \dot x , ω=v/r=x˙/r\omega = v/r = \dot x/r を代入すると T=12 m x˙2+12 I(x˙r)2=12(m+Ir2)x˙2.T = \frac12\,m\,\dot x^2 +\frac12\,I\Bigl(\frac{\dot x}{r}\Bigr)^{2} = \frac12\Bigl(m + \frac{I}{r^2}\Bigr)\dot x^2.  

3. 有効質量（見かけの慣性質量）の定義

上式はまるで「質量 meffm_{\rm eff} の質点が並進運動する系」の運動エネルギー T=12 meff x˙2\displaystyle T=\tfrac12\,m_{\rm eff}\,\dot x^2 と同じ形をしています。比較して meff=m+Ir2\boxed{ m_{\rm eff} = m + \frac{I}{r^2} }   を 見かけの慣性質量（effective mass）と呼びます。

4. 円板の場合

一様円板の慣性モーメントは I=12 m r2I = \frac12\,m\,r^2   なので meff=m+12m r2r2=m+12m=32 m.m_{\rm eff} = m + \frac{\tfrac12 m\,r^2}{r^2} = m + \frac12m = \frac32\,m.  

5. 等価ばね‐質点系としての運動方程式

ばね定数 kk ，変位 xx による復元力は –kx–kx 。 運動エネルギー T=12meffx˙2T=\tfrac12m_{\rm eff}\dot x^2 からラグランジュ方程式、 またはニュートン法則 meffx¨+kx=0m_{\rm eff}\ddot x + kx=0 を書くと， x¨+kmeff x=0,\ddot x + \frac{k}{m_{\rm eff}}\,x = 0,   したがって固有角振動数は ωn=kmeff=k(m+I/r2).\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m_{\rm eff}}} = \sqrt{\frac{k}{(m + I/r^2)}}.  

6. 他の剛体での応用

  • 中空円筒 I=(1/2)mr2I=(1/2) m r^2  と同じ形なので同じ。
  • 棒や球 など他の剛体では II  の式だけ変わり， meff=m+Ir2m_{\rm eff} = m + \frac{I}{r^2}が一般に成り立つ。

まとめ

「回転を伴う剛体の並進‐回転運動をばね‐質点系に還元するには，運動エネルギーを並進項 12mx˙2\tfrac12m\dot x^2＋回転項 12I(x˙/r)2\tfrac12I(\dot x/r)^2で書き直し， 12meffx˙2\tfrac12m_{\rm eff}\dot x^2の形にまとめる」。 ここから meff=m+I/r2m_{\rm eff}=m+I/r^2と導かれます。
この考え方は機械構造やロボットのジョイント動解析，慣性カップリングを考慮した制御設計など幅広く使われます。さらに詳細（例えばラグランジュの正式導出や他自由度系での拡張）が必要ならお知らせください。

慣性モーメントはなぜこのような式になるのですか？

慣性モーメント（回転慣性）は，物体を微小質量要素に分割して「各要素の質量 × 回転軸からの距離²」を足し合わせたものとして定義されます。すなわち I  =  ∑imi ri2⟹I=∫r2 dm.I \;=\;\sum_i m_i\,r_i^2 \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle I=\int r^2\,\mathrm{d}m.   円板の場合（厚さは一定で，重心まわりに回る薄い円板を考えます）には，面密度を σ=mπR2(質量m,  半径R)\sigma=\frac{m}{\pi R^2}\quad(\text{質量}m,\;\text{半径}R)   と置くと，微小面積要素は dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta なので dm=σ dA=σ r dr dθ.\mathrm{d}m=\sigma\,\mathrm{d}A =\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.   よって I=∫02π ⁣ ⁣∫0Rr2  (σ r dr dθ)=σ∫02π ⁣ ⁣∫0Rr3 dr dθ=σ (2π) R44=2πσR44I =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} r^2\;(\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta) =\sigma\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\sigma\,(2\pi)\,\frac{R^4}{4} =\frac{2\pi\sigma R^4}{4}   ここで σ=mπR2\sigma=\dfrac{m}{\pi R^2} を代入すると I=2π4 mπR2 R4=12 m R2.I =\frac{2\pi}{4}\,\frac{m}{\pi R^2}\,R^4 =\frac{1}{2}\,m\,R^2.  

まとめ

  1. 定義： I=∫r2 dmI=\displaystyle\int r^2\,\mathrm{d}m  。
  2. 円板の微小質量： dm=σ r dr dθ\mathrm{d}m=\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta  。
  3. 積分： ∫02π∫0Rr3 dr dθ=πR42\int_0^{2\pi}\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\tfrac{\pi R^4}{2}  。
  4. 結果： I=12 m R2\displaystyle I=\tfrac12\,m\,R^2  。
このように，「面密度」あるいは「体積密度」を使って連続体の各微小要素の contribution を積分すると，円板の慣性モーメントが 12mR2\tfrac12mR^2 になるわけです。

並進エネルギーのvは重心の移動速度ではなく外周の速度になるのですね？

いいえ、ここでの vv はあくまで 重心の並進速度（重心が動く速さ）を表しています。
  • 並進エネルギーの項 12 m v2 \tfrac12\,m\,v^2は質量 mmの物体が重心を速さ vvで並進するときのエネルギーです。
  • 回転エネルギーの項 12 I ω2 \tfrac12\,I\,\omega^2では角速度 ω\omegaを使いますが、「滑らず転がる」境界条件から ω=vcomr \omega = \frac{v_{\rm com}}{r}と書けるため、回転エネルギーも 12 I(vr)2 \tfrac12\,I\Bigl(\frac{v}{r}\Bigr)^2の形で vv（重心速度）を用いて表しています。
つまり、
  1. 転がり条件：外周の速度 vedge=rωv_{\rm edge}=r\omega  が、 重心並進速度 vcomv_{\rm com}  に等しい（滑りなし） ⇒vedge=vcom=v\Rightarrow v_{\rm edge}=v_{\rm com}=v 
  2. 並進エネルギーは常に「重心が動く速さ」で計算する
  3. 回転エネルギーも上記の関係を代入して「重心速度 vv  」で表現している
という整理になります。

ポイントまとめ

  • 並進 KE = 12 m vcom2\tfrac12\,m\,v_{\rm com}^2 
  • 回転 KE = 12 I ω2=12 I (vcom/r)2\tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\,I\,(v_{\rm com}/r)^2 
  • 「外周の速度が重心速度に等しい」のは回転＋並進の混合運動における非滑り条件によるもの、 vv  自体は重心速度です。

実際の世界では、並進は摩擦が加わるので、回転の方がエネルギー消費は少なく感じますが、理想条件では並進のみのほうが良いという感覚でよいでしょうか

  はい、その感覚は まったく正しい です。 とても本質をついた質問です。 結論から言うと：

✅ 結論（最も本質）

  • 理想世界（摩擦ゼロ）では → 並進だけする物体のほうが「軽く」動く（必要エネルギーが小さい）
  • 現実世界（摩擦あり）では → 回転する物体のほうがエネルギー消費が少なくなることが多い → 特に「転がり摩擦」が「すべり摩擦より極端に小さい」ため

🔍 なぜ理想世界では並進が有利？

理由は 回転には追加のエネルギーが必要だから。 例えば質量 (m) の円板：
  • 並進だけだと [ T_{\text{trans}}=\frac12 m v^2 ]
  • 回転しながらだと [ T_{\text{total}} = \frac12 m v^2 + \frac12 I\omega^2 = \frac34 m v^2 ]
つまり 転がる物体は見かけの質量が 1.5 倍になる。 （中空円筒なら 2 倍、球なら 1.4 倍など） → 転がる物体は、理想世界では動きにくい。

🔍 現実世界では「逆」に見える理由

それは
転がり摩擦がすべり摩擦より 100～1000 倍小さい
という圧倒的な差です。 例：
現象 摩擦係数の典型値
すべり摩擦（ブロックを床で） 0.3〜0.6
転がり摩擦（車輪） 0.001〜0.02
つまり回転して転がると
  • 並進に不利な「回転エネルギーの追加」より
  • すべり摩擦から解放される効果の方が 圧倒的に大きい
結果として
車輪は実世界では省エネになる。
力学的には車輪の原理そのものです。

✔ あなたの感覚のまとめ

質問：
実世界では回転の方がエネルギー消費が少ないが、 理想条件では並進のみの方が良いという感覚でよいですか？

→ はい、その理解で完全に正しいです。

  • 理想（摩擦ゼロ） → 並進だけの物体の方が軽い（エネルギーが少ない）
  • 現実（摩擦あり） → 回転して転がる方が圧倒的にエネルギー節約になる
この「理想と現実の逆転」を理解しているのはとても良い着眼点です！
必要であれば：
  • 「車輪が便利になる本質的理由」
  • 「転がり摩擦はなぜこんなに小さいのか」
  • 「台車・ローラーの効率性の物理」
などさらに深掘りできますよ！