答え：④

各系の等価ばね定数 $k_{\text{eq}}$

固有振動数

$$\omega_n = \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{m}}$$

よって

$k_{\text{eq}}$

が最大の ④（

$3k$

） が最も高い固有振動数をもつ。

参考：ばね | 副業の宮殿【PR】

技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-17解答例 | 技術士のたまご

ばねは直列、並列、物体を挟んで接続したときの効果を説明してください

ばねの組合せ・配置によって系全体の「剛性（ばね定数）」と応答特性が変わります。代表的な３つのケースを挙げて説明します。

1. 直列接続（Series）

構成例：壁―

$k_1$

―

$k_2$

―質量

• 力の伝達：両ばねに同じ力
  $F$ 

  がかかる。

• 変位の合成：全変位
  $x = x_1 + x_2$ 

  （それぞれの伸びの和）。

• 等価ばね定数

  $$\frac{1}{k_{\rm eq}} =\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2} \quad\Longrightarrow\quad k_{\rm eq}=\Bigl(\tfrac1{k_1}+\tfrac1{k_2}\Bigr)^{-1}$$ 

• 物理的効果：剛性が低下（コンプライアンス↑）。大きな変位を吸収したいときに用いる。

2. 並列接続（Parallel）

構成例：壁―【

$k_1$

‖ 

$k_2$

】―質量

• 変位の共通性：両ばねが同じ変位
  $x$ 

  を受ける。

• 力の分担：総力
  $F = F_1 + F_2 = k_1 x + k_2 x$ 

  。

• 等価ばね定数

  $$k_{\rm eq} = k_1 + k_2$$ 

• 物理的効果：剛性が上昇（コンプライアンス↓）。短い変位でも大きな復元力が必要なときに用いる。

3. 質量を挟んだ両側ばね（Sandwich／両端固定）

構成例：壁―

$k_1$

―質量―

$k_2$

―壁

• 質量が少し右へずれると、両側のばねが同じ変位量だけ伸び縮みし、両ばねの力が質量を元の位置へ引き戻す。
• 実は「並列接続」と同等：質量に対する合力は

  $$F = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2)\,x$$ 

• 等価ばね定数

  $$k_{\rm eq} = k_1 + k_2$$ 

• 効果：質量は１本のばねより強く固定されるので，固有振動数は高くなる。

応用と注意点

• シリーズ⇔並列の切り替え
  システム構成によっては「壁―ばね―質量―ばね―壁」を「質量に対して並列２本」と見なせる一方、「ばね―ばね―質量」のように質量の一側のみ接続だとシリーズモデルになります。
• 固有振動数への影響
  $\omega_n=\sqrt{k_{\rm eq}/m}$ 

  より，並列（または両側）のばねで剛性を上げると固有振動数が上昇、シリーズで下げると固有振動数が低下します。

• 実機では「ばねの変形量」「取付け位置」「取付剛性」 なども考慮が必要です。

以上が，直列・並列・挟み込み（並列と同等）のばね接続による主な効果です。必要に応じて「多自由度系での拡張」「柔軟体モデルとの違い」などもご説明できます。続きをどうぞ。