令和5年度技術士第一次試験問題［基礎科目］　問Ⅰ-1-6　相関係数r（ピアソンの積率相関係数）の性質

選択肢1. 相関係数は、つねに-1＜r＜1の範囲にある。
不適切です。-1,1も含まれます。

選択肢2. 相関係数が0から1に近づくほど、散布図上において2つのデータは直線関係になる。
適切です。

選択肢3. 相関係数が0であれば、2つのデータは互いに独立である。
不適切です。独立であるとは断定できないです。

選択肢4. 回帰分析における決定係数は、相関係数の絶対値である。
不適切です。絶対値ではなく、負の影響も考慮すべきです。

選択肢5. 相関係数の絶対値の大きさに応じて、2つのデータの間の因果関係は変わる。
不適切です。絶対値ではなく、負の影響にも意味があります。

[解答]②

参考：

過去問ドットコム

この問題は、相関係数に関する知識を問うものです。相関係数（ピアソンの積率相関係数）は、2つのデータの関係を表す指標であり、特定の範囲と特性を持っています。各選択肢を確認して、最も適切なものを選びます。

### 選択肢の確認
1. **相関係数は、つねに -1 < r < 1 の範囲にある。**
不適切です。-1,1も含まれます。

2. **相関係数が 0 から 1 に近づくほど、散布図上において 2 つのデータは直線関係になる。**
– 相関係数が 1 に近づくと、2 つのデータは強い正の直線関係を示します。この記述も正しいです。

3. **相関係数が 0 であれば、2 つのデータは互いに独立である。**
– 相関係数が 0 であることは、線形の関係がないことを示しますが、必ずしもデータが独立であるとは限りません。非線形の関係がある可能性もあるため、この記述は不正確です。

4. **回帰分析における決定係数は、相関係数の絶対値である。**
– 決定係数 $R^2$ は相関係数の絶対値の2乗であり、相関係数の絶対値そのものではありません。したがって、この記述も不正確です。

5. **相関係数の絶対値の大きさに応じて、2 つのデータの間の因果関係は変わる。**
– 相関係数は2つのデータの相関の強さを示しますが、因果関係（どちらが原因でどちらが結果であるか）を示すものではありません。この記述は誤りです。

相関係数の求め方

相関係数（ピアソンの積率相関係数）は、2つのデータセットの間の線形関係の強さと方向を表す指標です。相関係数 $r$ は -1 から 1 の範囲をとり、以下のように解釈されます：

– $r = 1$: 完全な正の線形関係
– $r = -1$: 完全な負の線形関係
– $r = 0$: 線形関係がない

### 相関係数の求め方（数式）
2つのデータセット $X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ と $Y = \{y_1, y_2, \dots, y_n\}$ が与えられている場合、相関係数 $r$ は次の式で求められます：

$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}}$$

ここで：
– $n$ はデータの数
– $x_i$ および $y_i$ はそれぞれのデータセットの各データポイント
– $\bar{x}$ および $\bar{y}$ はそれぞれのデータセットの平均値（平均は $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ で計算）

### 手順
1. 各データセット $X$ と $Y$ の平均を求めます。
2. 各データポイントとその平均との差を計算し、掛け合わせます。
3. その積を合計します（分子）。
4. $X$ と $Y$ のそれぞれのデータセットの分散を求め、平方根を取ります（分母の部分）。
5. 分子を分母で割ることで、相関係数 $r$ が求められます。

この方法で計算すると、相関の強さと方向を表す値が得られます。