A点とB点は同じ高さにあるため、ベルヌーイの式より
$$
p_A + \frac{1}{2}\rho_f v_A^2
=
p_B + \frac{1}{2}\rho_f v_B^2
$$
したがって
$$
\Delta p
= p_A - p_B
= \frac{1}{2}\rho_f (v_B^2 - v_A^2)
$$
また、連続の式より
$$
v_A S_A = v_B S_B
\quad\Rightarrow\quad
v_B = v_A \frac{S_A}{S_B}
$$
これを代入すると
これを代入すると
$$
\Delta p
= \tfrac{1}{2}\rho_f v_A^2
\left[
\left(\frac{S_A}{S_B}\right)^2 - 1
\right]
= \tfrac{1}{2}\rho_f v_A^2
\frac{S_A^2 - S_B^2}{S_B^2}
$$
したがって
$$
v_A
=
\frac{S_B}{\sqrt{S_A^2 - S_B^2}}
\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho_f}}
$$
圧力差は水銀マノメータで測定し、液柱差 \(H\) より
$$
\Delta p = (\rho_M - \rho_f)gH \simeq \rho_M gH
$$
よって
$$
v_A
=
\frac{S_B}{\sqrt{S_A^2 - S_B^2}}
\sqrt{\frac{2\rho_M g H}{\rho_f}}
$$
【解答】①
参考：
絞りのある円管内の圧力
円管流れの流速
技術士第一次試験－令和3年度機械部門Ⅲ-35解答例 | 技術士のたまご
マノメータとはどういうものですか
マノメータ（manometer）とは、液体の柱の高さの差を利用して圧力差を測定する装置です。 配管や機器の中の圧力を、よく知っている液体（水や水銀など）を使って測定します。■ 仕組みのイメージ
U字型の管の中に水銀（または水）が入っていて、 片側を測りたい圧力に、もう片側を基準圧力（大気圧など）につなぎます。 圧力p1 → | |￣￣￣￣| |
| | | |
| | | |
| |______| | ← 圧力p2（大気圧など）
→ 液面の高さ差 H が生じる
- ( \rho ) = 液体の密度（例：水銀は大きい）
- ( g ) = 重力加速度
- ( H ) = 液面高さ差
■ なぜ水銀を使うのか？
- 水銀は密度が大きい（水の約13.6倍）
- 大きな圧力差でも少しの高さ差で測れる
- 蒸発しにくい、表面張力が大きい、温度変化の影響が小さい
■ この問題での役割
問題では、A点とB点の圧力差が水銀マノメータの液柱差 (H) で測られています： [ p_A - p_B \approx \rho_M g H ] （水銀の密度は流体より十分大きい → (\rho_M \gg \rho_f) とみなす）■まとめ
| 特徴 | 内容 |
|---|---|
| 用途 | 圧力差測定 |
| 原理 | 液柱の高さ差 |
| 主な式 | (\Delta p = \rho g H) |
| 利点（水銀） | 高密度 → 高い精度、短い管で大きな圧力測定 |
もしよければ、次に ✅ 実際のマノメータの写真説明 ✅ ピトー管との違い ✅ 微小圧力測定での工夫 なども説明できます。続けますか？
