u(t)をラプラス変換してU(s)を求める

$L[ sint] = \frac{1}{s^2 + 1^2}$

設問図の入出力の関数より

$Y(s)=U(s)G(s)=\frac{1}{s^2 + 1^2}・\frac{10}{s + 2}=\frac{as+b}{s^2 + 1^2}+\frac{c}{s + 2}=\frac{-2s+4}{s^2 + 1^2}+\frac{2}{s + 2}$

逆ラプラス変換して

$y(t)=L^{-1}[ Y(s)] = -2cost + 4sint +2e^{-2t}$

ここで定常出力（t→∞）では$2e^{-2t}→0$となることと三角関数の公式を用いて

$y(t)=\sqrt{20}sin(t+tan^{-1}(-1/2)) $

[解答]④

参考

ラプラス変換とラプラス逆変換(H26)

ラプラス変換　例題(H25)

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