$\tau_{\rm max} = | \tau (D/2) | = \frac{D}{2} G | \theta| = \frac{D |T|}{2 I_p}=\frac{|T|}{Z_p}$
それぞれの材料の極断面係数Zを求める
$Z_{pA} = \frac{\pi d^3}{16}$
$Z_{pB} = \frac{\pi (d^4-\frac{d^4}{\sqrt{2}})}{16d}$
せん断応力の比は
$\frac{\frac{\pi d^3}{16}}{\frac{\pi (d^4-\frac{d^4}{\sqrt{2}})}{16d}}＝4/3$
[解答]②
参考
材料力学 丸棒の断面に働くねじりモーメントと断面係数に関する問題(H25)
極断面2次モーメントとは何ですか？
極断面二次モーメント（polar moment of inertia）とは、
軸をねじるときの“ねじれにくさ”を表す量 です。
「ねじりに関しての慣性モーメント」と考えると直感的です。
✅ 1. 定義（数学的な形）
断面内の点の座標を ((x, y)) とすると、
[
J=\iint (x^{2}+y^{2}), dA
]
- 点が軸から離れているほど（r が大きいほど）J に大きく効く
→ 外周の材料がねじりに強く寄与
✅ 2. なぜ必要なのか？
ねじり応力と角ねじれ角の式に必ず登場します。
● 最大せん断応力
[
\tau_{\max}=\frac{T c}{J}
]
● ねじれ角
[
\theta=\frac{T l}{GJ}
]
J が大きいほど：
- ねじりに強い
- ねじれが小さい
- せん断応力も小さくなる
✅ 3. 直感イメージ（重要）
ねじるとき、中心の材料よりも「外周の材料の方が強く効く」。
これはてこの原理と同じで、
- 中心にある材料 → モーメントアームがゼロ
- 外側の材料 → モーメントアームが大きい
よって J の定義
[
J=\int r^2, dA
]
は「半径の2乗を重みづけ」に使うことで
外周の影響を大きく評価する。
✅ 4. 丸棒の公式
覚えておくと便利。
● 中実丸棒
[
J=\frac{\pi d^4}{32}
]
● 中空丸棒（外径 d、内径 d_i）
[
J=\frac{\pi (d^4 – d_i^4)}{32}
]
✅ 5. なぜ d^4 になるのか？
積分で外周が支配的になるから。
例えば中実丸棒では
[
J \propto \int_0^R r^2 (2\pi r, dr) = 2\pi \int r^3 dr \propto R^4
]
半径の４乗で効く
→ つまり直径を少し大きくするとねじり強度が爆増する。
✅ 6. 性質まとめ
| 効果 | 説明 |
|---|---|
| せん断応力に効く | (\tau = Tc/J)、J 大→応力小 |
| ねじれ角に効く | (\theta = Tl/(GJ))、J 大→ねじれ小 |
| 外周が効く | r^2 の重みで外側の材料が支配的 |
✅ 7. 今回の問題との関係
中空丸棒 B の J が小さいので（肉が薄いため）
- (\tau_B > \tau_A)
となり、比をとると 4/3 になった。
必要なら：
✅ J の導出（積分を全部見せる）
✅ ねじりの理論式の出発点
✅ G（せん断弾性係数）との関係
✅ なぜ丸棒はねじりに強いのか
などもさらに深く説明できます！
Ｊの導出をお願いします
いい質問です！ここでいう「極断面二次モーメント (J)」は、ねじり（純粋トルク）に対する断面の“ねじれにくさ”を表す幾何学量です。
（※質量に関する慣性モーメント (J= \sum m r^2) とは別物。ここでは断面形状だけで決まる量で、単位は ([\text{長さ}]^4) です。）
極断面二次モーメントとは
- 定義（断面中心 (O) まわり）
[
\boxed{,J=\int_A \rho^2,\mathrm dA,}
]
ここで (\rho) は断面上の点から中心 (O) までの距離、(A) は断面積。 - ねじりの基本式
[
\boxed{,\tau(\rho)=\dfrac{T,\rho}{J},},\qquad
\boxed{,\theta=\dfrac{T,L}{G,J},}
]
(\tau)：半径 (\rho) のせん断応力，(T)：トルク，(L)：軸長，(G)：せん断弾性係数。
→ (J) が大きいほど応力が小さく，ねじれ角も小さい。
(J) の導出（円形断面）
1) 中実丸棒（半径 (R)）
極座標で ( \mathrm dA=\rho,\mathrm d\rho,\mathrm d\phi )：
[
\begin{aligned}
J
&=\int_0^{2\pi}!!\int_0^{R}\rho^2(\rho,\mathrm d\rho,\mathrm d\phi)
= \int_0^{2\pi}!!\int_0^{R}\rho^{3},\mathrm d\rho,\mathrm d\phi \
&= \left[\int_0^{2\pi}\mathrm d\phi\right]!
\left[\frac{\rho^{4}}{4}\Big|_{0}^{R}\right]
= 2\pi \cdot \frac{R^{4}}{4}
= \boxed{\frac{\pi R^{4}}{2}}
\end{aligned}
]
直径 (d=2R) なら (J=\dfrac{\pi d^{4}}{32})。
2) 中空丸棒（外半径 (R_o), 内半径 (R_i)）
[
\boxed{,J=\frac{\pi}{2}\left(R_o^{4}-R_i^{4}\right)
=\frac{\pi}{32}\left(d_o^{4}-d_i^{4}\right),}
]
3) 薄肉円管（板厚 (t\ll r)・平均半径 (r)）
[
\boxed{,J \approx 2\pi r^{3}t,}
]
（工学的に便利な近似）
(J) と他の量の関係・注意
- 直交主軸の面二次モーメント (I_x, I_y) と
[
\boxed{,J = I_x + I_y,(=\int_A (x^2+y^2),\mathrm dA),}
]
（円や正方形など中心対称断面で成り立つ） - 単位：([\text{m}^4])。
質量慣性モーメント（([\text{kg m}^2])）とは違うので混同に注意。
よくある質問：「(J) に (1/2) が付くのは？」
中実円の結果が
[
J=\frac{\pi R^4}{2}
]
だから「(1/2) が付く」ように見えます。これは円の幾何学積分の結果で、定義 (J=\int_A \rho^2 dA) に特別な係数があるわけではありません。
（質量慣性モーメントで一様円板が (J_{\text{mass}}=\tfrac12 mR^2) となるのとは別の話です。）
必要なら、先の問題図（外径 (d)、内径 (d/\sqrt2) の中空丸棒）について 具体的に (J) を計算し、せん断応力比 (\tau_B/\tau_A) を出す手順も示します！
なぜ丸棒はねじりに強いのか？
丸棒（円形断面）が 特にねじりに強いのは、
外周の材料が最大限に“モーメントアーム”を使ってねじりに抵抗できるからです。
そしてその効果が、極断面二次モーメント
[
J=\int_A r^2 dA
]
に見事に現れます。
ここでは、直感 → 物理 → 数学 の順でスッキリ説明します。
✅ 1. 直感的に：ねじりで一番効くのは“外側の材料”
ねじりトルクは
[
T = \tau(r) \times (\text{面積}) \times r
]
のように 半径 r が大きいほど強く効く。
つまり、
- 軸の中心付近の材料 → r が小さい → ほとんど抵抗しない
- 外周の材料 → r が最大 → ねじり抵抗力の主役
円形断面は 外周方向に材料を均等かつ最大に配置できる
→ ねじりに対して最も効率が良い形。
✅ 2. ねじりの式で見るともっと明確
最大せん断応力
[
\tau_{\max}=\frac{T c}{J}
]
ねじれ角
[
\theta=\frac{T L}{G J}
]
つまり J が大きいほど強い。
円がねじりに強い理由
円は、同じ面積・同じ外形寸法の断面に比べて
[
J = \int r^2 dA
]
を最大化しやすい。
特に
- 角のある形（四角形・H形鋼）は せん断応力が平均化しにくい
- 薄板形状では外周にしか材料がないため局所的に弱い
円は
どの方向からねじっても均等に強い
（等方性がある）。
✅ 3. 数学的に：J は半径の4乗で効く
中実丸棒
[
J=\frac{\pi d^4}{32}
]
直径の 4乗 に比例する。
例えば、直径を2倍にすると
[
J_{new} = 2^4 = 16倍！
]
外周が支配的だから、円形のように外周を最大限使える形が一番強い。
✅ 4. 他の断面と比較（同じ断面積）
たとえば断面積が同じ
- 円
- 正方形
- 長方形（細長い）
を比較すると、ねじりの強さ（=J）は
[
\text{円} > \text{正方形} > \text{長方形}
]
特に長方形は
[
J \approx \frac{1}{3} b t^3
]
となり、厚みが小さいと急激に弱い。
つまり 平均して遠くに材料を配置するのは円が最も効率的。
✅ 5. 工学的利点
- 車のシャフト
- モーター軸
- 工具のドリルチャック
- 機械部品の回転軸
が丸棒なのは、
✅ 材料をムダなく使ってねじり強度を最大化
✅ どの方向のねじれにも均等に強い（等方性）
✅ 応力集中が小さい
✅ 製造しやすい（旋盤で作りやすい）
という理由。
✅ まとめ：丸棒がねじりに強い理由（3行）
- 外周材料が最大限に使える
- J が半径の4乗で効く → 円は最もJが大きくなる
- 方向による偏りがなく、ねじり応力が均等に分布する
だから、
同じ材料・同じ断面積なら、丸棒が最もねじりに強い。
必要なら：
✅ 四角形・I形鋼との J の比較
✅ 中空丸棒がさらに効率的な理由
✅ 材料力学としてのねじり応力分布の導出
も解説できます！
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