荷重Pがかかる梁のたわみは
$　\frac{ d^{2}y }{ dx^2 } = -\frac{ M(x) }{ EI }= -\frac{ P(l-x) }{ EI }$

となる。

上式を積分して、

$　\frac{ dy }{ dx } = -\frac{ P}{ EI }(lx+\frac{ x^2}{ 2 }) + C_1$

さらに積分して

$　ｙ = -\frac{ P}{ EI }(\frac{ lx^2}{ 2 }+\frac{ x^3}{ 6 }) + C_{1}x + C_2$

ここで梁の境界条件

ｘ＝0のとき、ｙ＝0
ｘ＝0のとき、$　\frac{ dy }{ dx } = 0$

より、$　C_1 = 0、C_2 =  0$

よって、

$　ｙ = -\frac{ P}{ EI }(\frac{ lx^2}{ 2 }+\frac{ x^3}{ 6 }) $

ｘ＝ｌのときにたわみが最大となるので、代入して整理すると

$　ｙ = \frac{ Pl^3}{ 3EI } $

 

[解答] ③

参考

第9回　不静定はりのたわみ

平成25年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-6　材料力学 両端支持梁のたわみ

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