行列 \(A\) の逆行列を求める問題です。
行列 \(A\) は以下の通りです：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix} \]
この行列の逆行列を求めるために、一般的な手順を踏みます。まず、行列の積が単位行列になるようにする必要があります。行列 \(A\) に行列 \(B\) を掛けて単位行列になるようにする行列 \(B\) を見つけます。
計算の結果、逆行列は次のようになります：
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac - b & -c & 1 \end{pmatrix} \]
したがって、選択肢の中でこれに一致するのは、選択肢の4番です。正解は **④** です。
[解答]④
参考：
順を追って説明してください
行列 \(A\) の逆行列を求める順を追った説明です。
行列 \(A\) は次のように与えられています：
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix} \]
### ステップ 1: 逆行列 \(A^{-1}\) の形式を考える
逆行列 \(A^{-1}\) は次の形式を持つはずです：
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix} \]
### ステップ 2: 行列の積 \(A \cdot A^{-1} = I\) を設定
行列 \(A\) とその逆行列 \(A^{-1}\) の積が単位行列 \(I\) になるようにします：
\[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
### ステップ 3: 行列の積を計算
行列の積 \(A \cdot A^{-1}\) を計算します：
\[ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 \\ y & z & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a + x & 1 & 0 \\ b + cy & c + z & 1 \end{pmatrix} \]
### ステップ 4: 方程式を解く
積が単位行列になるように、各成分を比較します：
- \(a + x = 0 \) → \( x = -a \)
- \( c + z = 0 \) → \( z = -c \)
- \( b + cy + 0 = 0 \) → \( y = ac - b \)
### ステップ 5: 逆行列を組み立てる
逆行列の成分が揃ったので、逆行列は次のようになります：
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac - b & -c & 1 \end{pmatrix} \]
この結果に基づき、選択肢の中でこれに一致するものは ④ です。
なぜ逆行列の形式はこのようになるのですか？
A の逆行列を求めるために、特定の形式を仮定する理由は、逆行列
−
1
A
−1
が
A と同じ形式（例えば、三角行列の形）であることが期待されるためです。ここでは、行列
A が下三角行列に似た形式を持っているため、逆行列も似た形式になると予想します。具体的には、以下の手順を踏みます：
何行何列であっても、逆行列の形式は行列Aと同じ形になりますか？
逆行列の形式が行列 \( A \) と同じ形になるかどうかは、行列 \( A \) の特定の構造に依存します。特に、行列が上三角行列や下三角行列などの特定の形を持つ場合、その逆行列も同様の形式を持つことがよくあります。しかし、これは一般にすべての行列に当てはまるわけではありません。
例えば、行列 \( A \) が対角行列である場合、その逆行列も対角行列です。しかし、一般的な行列の場合、逆行列の形式は元の行列と異なることがあります。
ここで考えている行列 \( A \) は下三角行列に似た形をしており、その逆行列も同様に下三角行列の形を保つことが期待されます。しかし、これは行列の特定の構造に依存するため、他の形の行列に対してはこの形式が適用されない場合もあります。
### 一般的な場合の逆行列の求め方
1. **行列 \( A \) の行列式を計算**：行列の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です。
2. **随伴行列を計算**：行列 \( A \) の各要素の余因子行列を求め、それを転置します。
3. **逆行列を求める**：行列 \( A \) の逆行列 \( A^{-1} \) は、行列式を用いて \(\frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{随伴行列}\) として求めます。
この手順に従えば、任意の形の行列 \( A \) に対して逆行列を求めることができます。
逆行列の公式を詳しく解説してください
逆行列を求める公式について詳しく説明します。
### 逆行列の定義
行列 \( A \) が \( n \times n \) の正方行列で、その逆行列 \( A^{-1} \) が存在する場合、次の関係が成り立ちます：
\[ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I \]
ここで、\( I \) は \( n \times n \) の単位行列です。
### 逆行列の求め方
逆行列を求めるためには、以下の手順を踏みます。
#### 1. 行列式を計算する
行列 \( A \) の行列式 \( \text{det}(A) \) を計算します。行列 \( A \) の逆行列が存在するためには、行列式がゼロでないことが必要です：
\[ \text{det}(A) \neq 0 \]
#### 2. 随伴行列を求める
行列 \( A \) の随伴行列（アジョイント行列） \( \text{adj}(A) \) を求めます。これには以下の手順を含みます：
- **小行列式を計算**：行列 \( A \) の各要素に対応する小行列式を計算します。
- **余因子行列を作成**：小行列式に符号をかけて余因子行列 \( C \) を作成します。
- **転置行列**：余因子行列の転置行列が随伴行列 \( \text{adj}(A) \) です。
#### 3. 逆行列を求める
行列 \( A \) の逆行列 \( A^{-1} \) は、次の公式で求められます：
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \]
### 例：具体的な行列での逆行列の計算
具体例として、3x3行列の逆行列を求める手順を示します。
#### 例：行列 \( A \)
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
1. **行列式の計算**：
\[ \text{det}(A) = 1(1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3(0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) = 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5) = -24 + 40 - 15 = 1 \]
2. **随伴行列の計算**：
- 小行列式を計算し、余因子行列を作成：
\[ C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 4 \cdot 6 & -(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) & 0 \cdot 6 - 1 \cdot 5 \\ -(2 \cdot 0 - 3 \cdot 6) & 1 \cdot 0 - 3 \cdot 5 & -(1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) \\ 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 & -(1 \cdot 4 - 0 \cdot 1) & 1 \cdot 1 - 0 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & -20 & -5 \\ -18 & -15 & 1 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]
- 転置行列を求める：
\[ \text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & -4 \\ -5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
3. **逆行列を求める**：
\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & -4 \\ -5 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & -4 \\ -5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
このようにして、逆行列を計算することができます。
行列の逆行列の公式
では、\(3 \times 3\) 行列の逆行列の公式を、小行列式の結果を \(A_{11}\) のように表記して示します。
まず、次のような \(3 \times 3\) 行列 \( A \) を考えます：
\[
A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}
\]
この行列の逆行列 \( A^{-1} \) を求めるための公式は次のようになります。
### ステップ 1: 小行列式を求める
各成分に対する小行列式を次のように定義します：
- \( A_{11} = ei - fh \)
- \( A_{12} = di - fg \)
- \( A_{13} = dh - eg \)
- \( A_{21} = bi - ch \)
- \( A_{22} = ai - cg \)
- \( A_{23} = ah - bg \)
- \( A_{31} = bf - ce \)
- \( A_{32} = af - cd \)
- \( A_{33} = ae - bd \)
### ステップ 2: 余因子行列とその転置
行列 \( A \) の余因子行列を作り、その転置を取ります（これを随伴行列と呼びます）。余因子行列の転置は次のようになります：
\[
\text{随伴行列} = \begin{pmatrix} A_{11} & -A_{21} & A_{31} \\ -A_{12} & A_{22} & -A_{32} \\ A_{13} & -A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}
\]
これを具体的に展開すると：
\[
\text{随伴行列} = \begin{pmatrix} ei - fh & -(bi - ch) & bf - ce \\ -(di - fg) & ai - cg & -(af - cd) \\ dh - eg & -(ah - bg) & ae - bd \end{pmatrix}
\]
### ステップ 3: 行列式を計算して逆行列を求める
行列 \( A \) の行列式 \( \det(A) \) は次のように計算します：
\[
\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
\]
逆行列 \( A^{-1} \) は、行列式で随伴行列を割ったものになります：
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} A_{11} & -A_{21} & A_{31} \\ -A_{12} & A_{22} & -A_{32} \\ A_{13} & -A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}
\]
### まとめ
したがって、逆行列 \( A^{-1} \) は次のように表されます：
\[
A^{-1} = \frac{1}{a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)} \begin{pmatrix} ei - fh & -(bi - ch) & bf - ce \\ -(di - fg) & ai - cg & -(af - cd) \\ dh - eg & -(ah - bg) & ae - bd \end{pmatrix}
\]
これが、\(3 \times 3\) 行列の逆行列の公式です。
この問題は、行列 \( A \) の逆行列を求めるものです。行列 \( A \) は次のように与えられています。
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{pmatrix}
\]
### 逆行列の計算手順
行列 \( A \) のような上三角行列に似た形式の場合、逆行列を求める手順が比較的簡単です。逆行列 \( A^{-1} \) は次のように構成されます。
1. 第1行目はそのまま \((1, 0, 0)\) です。
2. 第2行目には、\( a \) を打ち消すために \(-a\) が必要ですので、\((-a, 1, 0)\) となります。
3. 第3行目には、\( b \) と \( c \) の影響を打ち消すために \( ac + b \) と \(-c\) が必要ですので、\((ac + b, -c, 1)\) となります。
したがって、逆行列 \( A^{-1} \) は次のようになります。
\[
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ ac + b & -c & 1 \end{pmatrix}
\]
### 選択肢の確認
選択肢を確認すると、上記の逆行列と一致するのは**選択肢 1**です。
### 答え
**正解は 1.**
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