ガウス積分の類似形

$　 \int_{-∞}^{∞}e^{-x^2} dx　= \sqrt{ π }$ $　 \int_{-∞}^{∞}e^{-ax^2} dx　= \sqrt{ \frac{ π }{ a } }$ $　 \int_{0}^{∞}e^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{ \frac{ π }{ a } }$ $　 \int_{0}^{∞}xe^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2a }$ $　 \int_{-∞}^{∞}x^2e^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2a }\sqrt{ \frac{ π }{ a } }$ $　 \int_{0}^{∞}x^3e^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2a^2 }$ $　 \int_{-∞}^{∞}x^4e^{-ax^2} dx　= \frac{ 3 }{ 4a^2 }\sqrt{ \frac{ π }{ a } }$ $　 \int_{-∞}^{∞}e^{-ax^2+bx+c} dx　= \sqrt{ \frac{ π }{ a } }e^{\frac{ b^2 }{ 4a }+c}$

双曲線関数

$　 coshx　= \frac{ e^x+e^{-x} }{ 2 }$ $　 sinhx　= \frac{ e^x-e^{-x} }{ 2 }$ $　 tanhx　= \frac{ e^x-e^{-x} }{ e^x+e^{-x} }=\frac{ sinhx }{ coshx }$ $　 cosh^2x + sinh^2x　= 1$ $　 1-tanh^2x　= \frac{ 1}{ cosh^2x }$ $　 (coshx)^{'} 　= sinhx $ $　 (sinhx)^{'}　= coshx $ $　 (tanhx)^{'} 　= \frac{ 1}{ cosh^2x } $