【ヨビノリ】ガウス積分の類似形　双曲線関数

ガウス積分の類似形

$\int_{-∞}^{∞}e^{-x^2} dx　= \sqrt{ π }$

$\int_{-∞}^{∞}e^{-ax^2} dx　= \sqrt{ \frac{ π }{ a } }$

$\int_{0}^{∞}e^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{ \frac{ π }{ a } }$

$\int_{0}^{∞}xe^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2a }$

$\int_{-∞}^{∞}x^2e^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2a }\sqrt{ \frac{ π }{ a } }$

$\int_{0}^{∞}x^3e^{-ax^2} dx　= \frac{ 1 }{ 2a^2 }$

$\int_{-∞}^{∞}x^4e^{-ax^2} dx　= \frac{ 3 }{ 4a^2 }\sqrt{ \frac{ π }{ a } }$

$\int_{-∞}^{∞}e^{-ax^2+bx+c} dx　= \sqrt{ \frac{ π }{ a } }e^{\frac{ b^2 }{ 4a }+c}$

双曲線関数

$coshx　= \frac{ e^x+e^{-x} }{ 2 }$
$sinhx　= \frac{ e^x-e^{-x} }{ 2 }$
$tanhx　= \frac{ e^x-e^{-x} }{ e^x+e^{-x} }=\frac{ sinhx }{ coshx }$

$cosh^2x + sinh^2x　= 1$
$1-tanh^2x　= \frac{ 1}{ cosh^2x }$

$(coshx)^{‘} 　= sinhx$
$(sinhx)^{‘}　= coshx$
$(tanhx)^{‘} 　= \frac{ 1}{ cosh^2x }$