ガウス積分の類似形
$ \int_{-∞}^{∞}e^{-x^2} dx = \sqrt{ π }$
$ \int_{-∞}^{∞}e^{-ax^2} dx = \sqrt{ \frac{ π }{ a } }$
$ \int_{0}^{∞}e^{-ax^2} dx = \frac{ 1 }{ 2 } \sqrt{ \frac{ π }{ a } }$
$ \int_{0}^{∞}xe^{-ax^2} dx = \frac{ 1 }{ 2a }$
$ \int_{-∞}^{∞}x^2e^{-ax^2} dx = \frac{ 1 }{ 2a }\sqrt{ \frac{ π }{ a } }$
$ \int_{0}^{∞}x^3e^{-ax^2} dx = \frac{ 1 }{ 2a^2 }$
$ \int_{-∞}^{∞}x^4e^{-ax^2} dx = \frac{ 3 }{ 4a^2 }\sqrt{ \frac{ π }{ a } }$
$ \int_{-∞}^{∞}e^{-ax^2+bx+c} dx = \sqrt{ \frac{ π }{ a } }e^{\frac{ b^2 }{ 4a }+c}$
双曲線関数
$ coshx = \frac{ e^x+e^{-x} }{ 2 }$
$ sinhx = \frac{ e^x-e^{-x} }{ 2 }$
$ tanhx = \frac{ e^x-e^{-x} }{ e^x+e^{-x} }=\frac{ sinhx }{ coshx }$
$ cosh^2x + sinh^2x = 1$
$ 1-tanh^2x = \frac{ 1}{ cosh^2x }$
$ (coshx)^{‘} = sinhx $
$ (sinhx)^{‘} = coshx $
$ (tanhx)^{‘} = \frac{ 1}{ cosh^2x } $
