この問題は**運動量欠損法（momentum deficit method）**を使って，2次元物体に働く抗力 per unit span を求める典型問題です。

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■ 物理状況

• 一様流 [U_\infty] が物体に当たる
• 物体下流（CD）では速度が (u(y)) に変化
• 図の長方形 ABCD をガウスのコントロールボリュームとする
• 圧力は AB, CD で同じ（よって圧力抗力はなし）
• 抗力は運動量欠損によって求める

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■ 抗力の考え方

物体が流体に及ぼす抗力 = 流体が物体に及ぼす力（反作用）

抗力 = 流体の運動量の減少量

流体の運動量流束（1長さあたり）は

[
\rho u^2(y)
]

しかし，下流の運動量欠損を考えるための表現は

[
\rho u(y)[U_\infty – u(y)]
]

これが，流れ1本あたりの欠損分です。

物体がなければ下流は全部 (U_\infty)。
なので，欠損流束を (y=-h \sim h) で積分すると抗力：

[
D’ = \rho \int_{-h}^{h} u(y)\left(U_\infty – u(y) \right) dy
]

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■ 選択肢の確認

選択肢を見比べると，これと一致するのは

✅ ①

[
\rho \int_{-h}^{h} u(y){U_\infty – u(y)} dy
]

✅正解：①

[解答]①

参考

曲管における運動量の法則の問題

技術士第一次試験－令和3年度機械部門Ⅲ-29解答例 | 技術士のたまご

 

 

■ よくある間違いの修正

選択肢	内容	間違い理由
② [ \rho \int (U_\infty^2 – u^2)dy]	欠損を直接差分	渦なし条件で×, 同じ式に見えるが形式が異なる
③ [ \rho \int U_\infty u (U_\infty – u)dy]	余計な (U_\infty)	次元が違う
④ [ \frac{\rho}{2} \int U_\infty (U_\infty-u) dy]	係数・式が誤り	乱流境界層式の誤応用
⑤ [ \rho\int (U_\infty-u) dy]	慣性欠損でない	質量欠損

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■ まとめ

抗力 = 下流の運動量欠損

[
D’ = \rho \int_{-h}^{h} u(y)(U_\infty – u(y))dy
]

 

抗力は運動量の欠損なのですか？抗力係数はどうですか？

良い質問です。
重要なポイントを整理します。

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✅ 抗力 = 運動量の欠損 なのか？

はい、流れ場で抗力を求めるときは

物体が流体に与えた力（=抗力）
= 流体が持ち去った運動量の減少（欠損）

という考え方を使います。

これは運動量保存則（Newton 第2法則と流体の制御体積法）に基づきます。

例：運動量欠損法

物体の後流で速度分布が (u(y)) になるとき，

[
D’ = \rho \int u(y)\left(U_\infty – u(y)\right)dy
]

という式で抗力（2D物体の単位スパン当たり）を求めます。

物体が流れを減速させた → 運動量が失われた
→ その分の力を物体が受けている（抗力）

という構図です。

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✅ 抗力は常に運動量欠損で表すのか？

いいえ、必ずしもこの形で表わすわけではありません。

他の形式：

• 圧力分布の積分
• 摩擦応力の積分
• Navier–Stokes で解析
• CFDで直接算出

しかしどの方法でも最終的には同じ抗力が出ます。
その根拠は運動量保存則です。

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✅ 抗力係数とは？

抗力 (D) を無次元化したもの：

[
C_D = \frac{D}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2 A}
]

• (A)：代表投影面積
• (\frac12 \rho U_\infty^2)：動圧

抗力係数は，「流れの抗力を規格化した指標」

です。

抗力係数そのものは運動量欠損ではなく
抗力を動圧 × 面積で無次元化した量です。

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✅ まとめ

項目	意味
抗力 (D)	流体が物体を押す力
抗力の発生源	圧力差 + 摩擦 +（仕切り面では）運動量欠損
抗力は運動量欠損？	✅ 流れ場から評価するとそうなる
抗力係数 (C_D)	(D) を (\tfrac12\rho U_\infty^2 A) で無次元化

抗力は運動量の欠損から求められる
抗力係数は抗力を無次元化した指標

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✅ 補足：物体のどこに抗力が働く？

成分	説明
圧力抗力 (form drag)	前後の圧力差
摩擦抗力 (skin friction drag)	壁面摩擦によるせん断

後流の運動量欠損には両方の効果が含まれるので便利。

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必要なら

• 運動量欠損法の厳密導出
• 有名な後流の抗力係数（円柱、翼、球など）
• 実験的に抗力係数がどう測定されるか

なども説明できます。

続けますか？

運動量と運動エネルギーはことなりますか？

 

はい、運動量と運動エネルギーは異なる量です。
しばしば混同されますが、意味も式もまったく違います。

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✅ 定義と違い

項目	運動量 ( \mathbf{p} )	運動エネルギー (E_k)
意味	質量×速度（運動の勢い）	運動によって持つエネルギー
式	(\displaystyle \mathbf{p}=m\mathbf{v})	(\displaystyle E_k=\frac12 m v^2)
ベクトル/スカラー	ベクトル量	スカラー量
保存則	孤立系で保存（運動量保存則）	保存しない（損失や変換あり）
力との関係	(\displaystyle F = \frac{dp}{dt})	エネルギー変化は仕事と熱で変わる

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✅ 物理的な違いのイメージ

運動量

どれだけ押し返してくるか（力の伝達）

例：
軽いピンポン球（高速） vs 重いボール（低速）

• ピンポン球 → 運動量小さい（弱い衝突）
• 重いボール → 運動量大きい（強い衝突）

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運動エネルギー

どれだけ仕事ができるか（破壊力）

同じ速さでも、質量が大きければ大きな破壊力。

自動車や銃弾の威力は運動エネルギーで決まる。

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✅ 流体力学での役割の違い

分野	使う概念	例
流れ場の力（抗力、揚力）	運動量	運動量保存式、抗力＝運動量欠損
圧力や速度の関係	エネルギー	ベルヌーイの式 (p + \frac12\rho v^2 = \text{const})

抗力はどちらか？

運動量（と圧力）で決まる

なぜなら力 = 運動量変化率だから
[
F = \frac{d}{dt} \int \rho \mathbf{v}, dV
]

※抗力係数 (C_D) に出る (\frac12\rho U^2) は動圧であり
「単位体積あたり運動エネルギー」と同じ次元ですが
抗力を直接運動エネルギーから決めるわけではありません。

ややこしいですが、

• 抗力＝運動量の損失
• しかし抗力係数の基準は動圧 (\frac12\rho U^2)

という構造です。

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✅ まとめ

要点	内容
運動量 = 質量×速度	力と衝突に関係
運動エネルギー = (\frac12 m v^2)	仕事・破壊力に関係
抗力は運動量変化	エネルギーではない
流体係数に動圧が出る	スケールとして便利なため（無次元化）

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必要なら、

• なぜ抗力係数に (\frac12\rho U^2) が出るか
• ベルヌーイ式と運動量式の違い
• 後流の損失エネルギーと抗力の関係

なども図で説明できます。続きを聞きたいですか？

 

運動量のmにあたる部分がρu(y)、ｖにあたる部分がu-u(y)ですか？mはなぜ後流の速度から求めるのですか

とても良いところに着目されています。
ただし、少し誤解があるので丁寧に整理します。

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✅ 流体の運動量の表現

粒子の場合：

[
p = m v
]

流体では「単位時間に通過する質量 × 速度（運動量流束）」を使います。

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■ 流体の質量流量

[
dm = \rho, u(y),dy \quad(\text{2次元流れで単位幅})
]

• (\rho)：密度
• (u(y))：局所速度
• (dy)：厚み
• 単位時間あたり → 質量流量 = (\rho u(y) dy)

つまり質量流量が ( \rho, u(y),dy )

(m) に相当するものが **「瞬間に流れる質量」**でなく
時間あたりに流れる質量（質量流束）

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■ 運動量（流束）

流体の運動量（単位時間あたり）は

[
\text{運動量流束} = (\text{質量流量}) \times (\text{速度})
= \rho u(y),dy \cdot u(y)
= \rho u^2(y),dy
]

これが「流れの運び去る運動量」です。

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✅ では抗力は？

物体は流れの運動量を減らす
→ 減った分が抗力

物体がなければ下流速度は (U_\infty)

よって運動量欠損：

[
\Delta(\rho u^2)\ dy = \rho\left[U_\infty^2 – u^2(y)\right]dy
]

しかしこれを分配すると

[
U_\infty^2 – u^2 = (U_\infty – u)(U_\infty + u)
]

後流近くでは
(U_\infty + u ≈ 2u) とみなせるので、

実用形として

[
D’ = \rho \int u(y)\left(U_\infty – u(y)\right)dy
]

が使われます。

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✅ 質問の回答

Q1:

運動量の m にあたる部分が ρu(y)、v にあたる部分が u−u(y) ですか？

違います。

粒子物理	流体力学
質量 (m)	質量流量 ( \rho u(y)dy )
速度 (v)	速度 (u(y))

です。

((U_\infty – u)) は「損失した速度成分」を表すために出てきます。

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Q2:

mはなぜ後流の速度から求めるのですか？

理由：

物体の影響は後流に現れるから
→ 下流の速度分布から運動量損失を測る

上流は一様 (U_\infty) なので
物体による影響は後流にしか現れません。

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✅ もっと短くまとめると

量	意味
(\rho u(y)dy)	単位時間に通過する質量（質量流量）
(\rho u^2(y)dy)	単位時間に通過する運動量
(\rho u(y)(U_\infty – u(y))dy)	運動量損失（抗力）

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✅ 例え話

水路を流れる水の勢いが物体の後ろで弱くなる
→ 勢いの低下＝物体が受けた力

だから
後流（wake）の情報で抗力が決まるのです。

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必要なら、図で

• 質量流束
• 運動量流束
• 後流のモーメンタム厚さ

なども説明できます。

次は「排除厚さ δ* と運動量厚さ θ の関係」も話しましょうか？

後流近くでは ∞ + ≈ 2 U ∞​+u≈2u とみなせるので、がよくわかりません。大きさが異なり近似できるように気がしません

ご指摘の点、とても良いところです。
「(U_\infty + u \approx 2u) とみなす」という説明は誤解を招く表現でした。
あなたの直感どおり、一般に成り立つ近似ではありません。

この近似は、「後流の速度 (u(y)) が (U_\infty) にかなり近い（＝薄い後流・弱い抗力）」という特定の状況でのみ使われることがありますが、本質的には必要ありません。

正確な説明に修正します。

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✅ 正しい抗力の運動量欠損式

物体が流れを減速させる → 運動量を失わせる

[
D’ = \rho \int_{-h}^{h} [U_\infty^2 – u^2(y)],dy
]

ここで恒等式

[
U_\infty^2 – u^2 = (U_\infty – u)(U_\infty + u)
]

なので、

[
D’ = \rho \int (U_\infty – u)(U_\infty + u),dy
]

これが正しい理論式です。

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✅ なぜ教科書で (\rho \int u(U_\infty – u),dy) と書くの？

「運動量厚さ (θ)」の定義と一致させるための便宜的な書き換えです：

[
\theta = \int_0^\delta
\frac{u}{U_\infty}\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right) dy
]

これを使うと、抗力 per unit span は

[
D’ = \rho U_\infty^2 \cdot 2\theta
]

となるので、よく使う形は

[
D’ = \rho \int u(U_\infty – u)dy
]

ただし、これは**小さな後流（薄い境界層近似）**で

[
u \approx U_\infty
]

が成り立つときに、

[
U_\infty + u \approx 2U_\infty
]

と置いて

[
(U_\infty – u)(U_\infty + u)
≈ (U_\infty – u)\cdot 2U_\infty
= 2U_\infty(U_\infty – u)
]

と 線形化したものです。

✅ 正しい近似はこれです

[
U_\infty + u \approx 2U_\infty \quad(\text{後流が薄いとき})
]

(U_\infty + u \approx 2u) ではありません。

あなたが違和感を覚えたのは正しいです。

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✅ なぜ後流の速度を使うの？

• 上流は一様 (U_\infty)
• 抗力は「流れの勢いがどれだけ減ったか」

だから後流の運動量だけを見れば十分です。

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✅まとめ

誤解しやすい点	正しい内容
(U_\infty + u \approx 2u)	❌ 一般に成立しない近似
薄い後流で (u \approx U_\infty)	✅ 正しい
近似なら (U_\infty + u \approx 2U_\infty)	✅ 正しい
抗力＝運動量欠損	✅ 本質

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もし希望なら、次の説明もできます：

• 運動量厚さ (θ) の導出
• CFD後流分布から抗力を求める方法
• 実験データで抗力を積分評価する方法

どこまで掘り下げますか？