求めるのは領域 (C) の循環
[
\Gamma=\oint_{\partial C}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}
]
です。

• 流れは境界 (S) の上下で一様：下側で (v_1)，上側で (v_2)。いずれも水平方向。
• 積分経路は図の細長い長方形（幅 (ds)，高さ (dl)）の外周。

外周の4辺での寄与を考えると：

1. 上辺（長さ (ds)）は上流域にあり、[\mathbf{v}=v_2] が進行方向と同向
   → 寄与 [= v_2,ds]。
2. 下辺（長さ (ds)）は下流域にあり、[\mathbf{v}=v_1] は上辺と同じ向きだが、線素の向きは周回方向と逆向き
   → 寄与 [= -,v_1,ds]。
3. 左右の辺は鉛直で、速度は水平方向なので
   [\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}=0] で寄与なし。

よって循環は
[
\Gamma = v_2,ds – v_1,ds = (v_2 – v_1),ds .
]

したがって適切なのは ③ ((v_2 – v_1)ds) です。

[解答]③

参考

流体力学　循環

循環とはなんですか

**循環（circulation）**とは、流体がある閉じた経路に沿ってどれだけ「回っているか」を表す量で、速度ベクトルを経路に沿って積分したものです。

■ 定義式

閉曲線 (C) に沿う循環 (\Gamma) は

[
\Gamma = \oint_C \mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}
]

• (\mathbf{v})：流体の速度ベクトル
• (d\mathbf{l})：経路に沿った微小線素
• 積分は閉曲線（ぐるっと一周）

つまり

流体が閉ループにそってどれくらい渦のように動いているか

を表す量です。

■ 直感的イメージ

• 静止流体では循環 = 0
• 均一にまっすぐ流れている流れでも循環 = 0
  （左右対称に打ち消し合う）
• 渦（回転流）では循環 ≠ 0

たとえば、水がぐるぐる回っている流れでは循環は大きくなります。

■ 渦度との関係

循環は渦度 (\omega)と密接です。

[
\Gamma = \iint_S \omega, dS
]

渦度は「局所的な回り」の指標、
循環はそれを面で積分した「全体の回り具合」。

■ 例：川の流れ vs 渦

■ なぜ重要？

流体力学で循環は多くの法則と関係します：

• クッタ–ジュコフスキーの揚力公式
  [
  L’ = \rho U \Gamma
  ]
• 渦度輸送方程式
• ケルビンの循環定理

つまり、翼が揚力を生む理論の核心でもあります。

■ まとめ

必要なら、簡単な数値例や、翼断面まわりの循環図も作ります。
次にケルビンの循環定理や揚力との関係を解説しましょうか？

v・dlは内積ですか？

はい、([\mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} ] は**内積（dot product）**です。

■ 意味

[
\mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = |\mathbf{v}|,|d\mathbf{l}| \cos\theta
]

• [\mathbf{v}]：流速ベクトル
• [d\mathbf{l}]：線要素ベクトル（積分経路の向き）
• [\theta]：両ベクトルの角度

つまり、

経路方向にどれだけ速度成分があるか

を表しています。

速度が経路と同じ方向→正
逆向き→負
直交→0

■ 直感例

• 同じ方向に流れている水は、経路に沿って前進 → 正の寄与
• 逆向きだと負の寄与
• 直角方向の流れは循環には関係なし

■ 循環への関係

循環は

[
\Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}
]

ですから、
閉曲線に沿った速度の“向きあり”線積分になります。

流れがぐるっと回るほど内積積分が大きくなる
→ 循環が大きい

■ 補足：なぜ内積？

循環は「回転量」の指標ですが、まずは

• 経路に沿った速度成分（内積）
• それを経路に沿って積分

することで得られます。

後で Stokes の定理により、
それが渦度（curl）の面積積分と結びつきます。

✅結論

(v\cdot dl) は内積です。
流れの「経路方向成分」を積分して循環を求めています。

さらに理解を深めたいなら

• 流線と循環
• Stokes の定理とのつながり
• 揚力（循環理論）

なども解説できます。どこまで進みます？