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令和2年度技術士第一次試験問題[基礎科目:解析]1-3-4

内心:三角形の三つの内角の二等分線が交わる点を内心すなわち内心円の中心としたもので内心円は円の外周が三角形の三辺と接します。
外心:三角形の三辺の垂直二等分線が交わる点を外心すなわち外心円の中心としたもので外心円は円の外周が三角形の三つの頂点と接します。

△ABCの三辺の長さの比が3:4:5で与えられているので、△ABCは直角三角形になります。
辺ABの長さを3、辺BCの長さを4、辺ACの長さを5とした場合∠ABCが直角になります。
△ABCの面積は、3×4÷2=6になります。

[内心の面積座標]
内心座標Pから△ABCの各辺に引いた垂直な線をr1とし、r1で区分したSA、SB、SCの面積は
SA=4×r1÷2
SB=5×r1÷2
SC=3×r1÷2
になります。
SA+SB+SC=△ABCの面積すなわちSになるため、
SA+SB+SC=6になり、r1は1になります。

改めてSA、SB、SCを計算すると
SA=4×1÷2=2
SB=5×1÷2=5/2
SC=3×1÷2=3/2
よって、内心の面積座標(SA/S、SB/S、SC/S)は
(1/3、5/12、1/4)になります。

[外心の面積座標]
直角三角形△ABCから形成する外接円の直径は△ABCの斜辺と等しい性質があることから外心は辺ACの中点に位置することになります。
したがって、SB=0になります。

SAとSCは三角形ABCの辺ACの中心から∠ABCに引いた線で分かれていますので、
底辺の長さが同じ(辺AC÷2)で、高さが同じなので、SA、SCそれぞれ面積は同じです。

△ABCの面積は6なので、SAとSCはそれぞれ3になります。
以上より、外心の面積座標(SA/S、SB/S、SC/S)は(1/2、0、1/2)になります。

したがって4が正解です。

[解答:④]

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