令和2年度技術士第一次試験問題［基礎科目：解析］1-3-4 三角形の内心と外心の性質と座標の求め方

内心：三角形の三つの内角の二等分線が交わる点を内心すなわち内心円の中心としたもので内心円は円の外周が三角形の三辺と接します。
外心：三角形の三辺の垂直二等分線が交わる点を外心すなわち外心円の中心としたもので外心円は円の外周が三角形の三つの頂点と接します。

△ABCの三辺の長さの比が3：4：5で与えられているので、△ABCは直角三角形になります。
辺ABの長さを３、辺BCの長さを４、辺ACの長さを５とした場合∠ABCが直角になります。
△ABCの面積は、3×4÷2＝6になります。

[内心の面積座標]
内心座標Pから△ABCの各辺に引いた垂直な線をr1とし、r1で区分したSA、SB、SCの面積は
SA＝4×r1÷2
SB＝5×r1÷2
SC＝3×r1÷2
になります。
SA＋SB＋SC＝△ABCの面積すなわちSになるため、
SA＋SB＋SC＝６になり、r1は1になります。

改めてSA、SB、SCを計算すると
SA＝4×1÷2＝2
SB＝5×1÷2＝5/2
SC＝3×1÷2＝3/2
よって、内心の面積座標（SA/S、SB/S、SC/S）は
（1/3、5/12、1/4）になります。

[外心の面積座標]
直角三角形△ABCから形成する外接円の直径は△ABCの斜辺と等しい性質があることから外心は辺ACの中点に位置することになります。
したがって、SB＝0になります。

SAとSCは三角形ABCの辺ACの中心から∠ABCに引いた線で分かれていますので、
底辺の長さが同じ（辺AC÷２）で、高さが同じなので、SA、SCそれぞれ面積は同じです。

△ABCの面積は６なので、SAとSCはそれぞれ３になります。
以上より、外心の面積座標（SA/S、SB/S、SC/S）は（1/2、0、1/2）になります。

したがって4が正解です。

[解答：④]

もっと知るには・・・

同一の弧に対する**中心角**と**円周角**について、以下で説明します。

### 1. 中心角と円周角の定義
– **中心角**：円の中心を頂点とし、円周上の2点を結ぶ弧に対して形成される角のことです。
– **円周角**：円周上の1点を頂点とし、円周上の他の2点を結ぶ弧に対して形成される角のことです。

### 2. 同一の弧に対する中心角と円周角の関係
同じ弧（例えば弧 $AB$ ）に対して、中心角と円周角には以下の重要な関係があります：

– **中心角は円周角の2倍**
同一の弧に対して作られる中心角の大きさは、その弧に対する円周角の大きさの2倍になります。

例えば、円周上の点 $P$ が弧 $AB$ に対する円周角 $\angle APB$ を形成し、中心 $O$ を頂点とする角 $\angle AOB$ が同じ弧 $AB$ に対する中心角であるとします。このとき、次の関係が成り立ちます。

$\angle AOB = 2 \times \angle APB$

つまり、中心角 $\angle AOB$ の大きさは、円周角 $\angle APB$ の2倍になります。

### 3. この関係の理由
この関係は、円の対称性と三角形の性質に基づいて成り立っています。中心角を含む二等辺三角形と円周角を含む外角の関係から、この「中心角は円周角の2倍」という性質が導かれます。

### 4. 応用例
この性質を利用すると、次のような問題に応用できます。

– 円周角の大きさが分かると、対応する中心角の大きさも求めることができる。
– 同じ弧に対する円周角はすべて等しいため、円周上のどの点からでも同じ円周角が得られる。

### まとめ
同じ弧に対する中心角は、円周角の2倍の大きさを持ちます。この関係は円の対称性と三角形の性質から導かれ、幾何学的な問題を解く際に非常に便利な性質です。

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