解きます。

---

条件

2次元非圧縮性流なので連続の式は

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.$$

 

与えられた

$u=x^2+xy$

について、

$$\frac{\partial u}{\partial x}=2x+y,$$

 

よって

$$\frac{\partial v}{\partial y}=-(2x+y).$$

 

これを

$y$

について積分すると、

$$v=-2xy-\frac{1}{2}y^2+g(x),$$

 

ただし

$g(x)$

は

$y$

に依存しない任意関数（境界条件で決まる）。

選択肢の中でこの形を満たしているのは
①

$v=-2xy-\frac{1}{2}y^2$

（

$g(x)=0$

の場合）だけ。

---

答え

①

参考：連続の式 | 副業の宮殿【PR】

技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-30解答例 | 技術士のたまご

積分定数はどのように扱われますか？あとxの関数なのですか？

はい。ここで出てきた「積分定数」は偏微分を

$y$

についてやったから出てくるもので、

$y$

に関して微分すると消える任意の関数なので、厳密には定数ではなく

$x$

の関数になります。だから：

$$\frac{\partial v}{\partial y}=-(2x+y) \quad\Rightarrow\quad v(x,y) = -2xy – \frac{1}{2}y^2 + g(x)$$

 

のように書き、

$g(x)$

が “積分定数” に相当する項（ただし

$y$

には依存しないので、

$\partial/\partial y$

すると消える）。

どう扱うか

その関数

$g(x)$

を決めるには追加の条件（境界条件・対称性・物理的制約など）が必要です。例：

• もし「
  $y=0$ 

  で

  $v(x,0)=0$ 

  」という条件があれば：

  $$v(x,0) = -2x\cdot0 – \tfrac12\cdot0^2 + g(x) = g(x) = 0$$なので

  $g(x)=0$となり、解は

  $v=-2xy-\tfrac12y^2$。

• あるいは、全体の流れに対して「ある
  $x$ 

  に沿っての

  $v$ 

  の分布」が与えられれば、それを代入して

  $g(x)$ 

  を求める。

補足：ストリーム関数を使うと構造が見える

非圧縮性2次元流れではストリーム関数

$\psi(x,y)$

が存在して

$$u = \frac{\partial \psi}{\partial y},\quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$

 

与えられた

$u=x^2+xy$

から

$$\psi = \int u\,dy = x^2 y + \frac{1}{2}x y^2 + f(x),$$

 

すると

$$v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = -2xy – \frac{1}{2}y^2 – f'(x).$$

 

よって

$g(x) = -f'(x)$

という形で前と一致し、任意関数成分の起源が分かります。

---

まとめ

• 偏微分を
  $y$ 

  で積分したときの「積分定数」は

  $y$ 

  に依存しない任意関数

  $g(x)$ 

  。

• それを決めるには境界条件などの追加情報が必要。
• ストリーム関数を使うとその任意性が微分の結果として自然に現れる（
  $g(x)=-f'(x)$ 

  ）。

必要なら具体的な境界条件付きの例を一緒に解きますが、どれがよいですか？

連続の式は速度の微分なので、加速度の和が0ということですか？

 

とても良い着眼点です。
結論から言うと：

❌ いいえ。連続の式（∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0）は、加速度の和が0という意味ではありません。
✅ これは「質量保存（非圧縮性なら体積保存）」を表す式で、速度の発散がゼロという意味です。

---

🔹 1. 連続の式とは

流体の質量保存を表す基本式です。

一般形は
[
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0
]
であり、非圧縮性（密度一定）の場合は：
[
\nabla \cdot \mathbf{v} = 0
]
すなわち
[
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0
]

これは「ある微小体積の中に入る流量と出る流量が等しい（質量が増減しない）」ことを意味します。

---

🔹 2. 「速度の微分」ではあるが「加速度」ではない

• (\frac{\partial u}{\partial x}), (\frac{\partial v}{\partial y}) は「位置に対する変化率」であり、
  空間的な変化（発散＝流れの膨張や収縮）を示しています。
• 一方、加速度は「時間に対する変化率（運動の変化）」です：

  [
  \mathbf{a} = \frac{D\mathbf{v}}{Dt}
  = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}
  ]

したがって、「速度の空間微分＝発散（流量の変化）」と
「速度の時間微分＝加速度（運動の変化）」はまったく別の概念です。

---

🔹 3. 直感的な理解

• 連続の式（発散＝0）
  → 空間的に流体が「わき出たり消えたり」していない。
  → 微小体積の質量が一定。
• 運動方程式（加速度＝力／質量）
  → 流体粒子が時間的にどのように加速するか（ニュートンの第2法則）。

つまり、連続の式は流れのつながり（質量保存）を表し、
運動方程式（ナビエ–ストークス式）は流れの変化の原因（力学）を表します。
どちらも速度が関係しますが、導関数の方向（空間 or 時間）が違います。

---

🔹 4. まとめ

式	内容	物理的意味
連続の式：(\nabla\cdot\mathbf{v}=0)	速度の空間微分	質量（体積）保存、膨張ゼロ
運動方程式：(\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \text{力})	速度の時間微分	加速度＝力による変化

---

ご希望があれば、「連続の式と運動方程式の違いを図で示す教材風イラスト（流線と体積の関係）」を作成することもできます。作ってみましょうか？