解きます。

与えられた値（単位は SI）

• 表面温度：
  $T_s = 427^\circ\mathrm{C}=700\,\mathrm{K}$ 
• 周囲（空気）温度：
  $$T∞=20∘C=293 KT_\infty = 20^\circ\mathrm{C}=293\,\mathrm{K} 
• 対流熱伝達率：
  $h=20\,\mathrm{W/(m^2\cdot K)}$ 
• 放射率：
  $\varepsilon=0.7$ 
• ステファン・ボルツマン定数：
  $\sigma=5.67\times10^{-8}\,\mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$ 
• 裏面・側面は断熱（片面放熱のみ）

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熱流束の合計（対流＋放射）

① 対流による熱流束：

$$q_{\text{conv}} = h (T_s – T_\infty) = 20 \times (700 – 293) = 20 \times 407 = 8140\ \mathrm{W/m^2}$$

 

② 放射による熱流束（周囲を黒体とみなして）：

$$q_{\text{rad}} = \varepsilon \sigma (T_s^4 – T_\infty^4) = 0.7 \times 5.67\times10^{-8} \times (700^4 – 293^4) \approx 9237\ \mathrm{W/m^2}$$

 

③ 合計：

$$q = q_{\text{conv}} + q_{\text{rad}} \approx 8140 + 9237 = 17{,}377\ \mathrm{W/m^2} \approx 17\ \mathrm{kW/m^2}$$

 

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答え

③ 17 kW/m²

 

参考：ボルツマン | 副業の宮殿【PR】

技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-29解答例 | 技術士のたまご

ステファン・ボルツマン定数について教えてください

 

了解しました。ステファン・ボルツマン定数について整理して説明します。

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1. 定義と物理的意味

ステファン・ボルツマン定数

$\sigma$

は、完全な黒体（吸収率＝放射率が1の理想的な放射面）が単位面積あたり単位時間に放出する全波長にわたる放射エネルギー（放射輝度の全積分）が温度の4乗に比例することを表す比例定数です：

$$j^* = \sigma T^4$$

 

• 
  $j^*$ 

  ：黒体の単位面積あたりの放射エネルギー放出率（放射熱流束）、単位は

  $\mathrm{W/m^2}$ 

• 
  $T$ 

  ：絶対温度（ケルビン）

これは ステファン・ボルツマンの法則 と呼ばれる。

実際の（非理想の）表面では放射率

$\varepsilon$

をかけて：

$$j = \varepsilon \sigma T^4$$

 

これを グレー体（一定の放射率を持つ）の放射として使う。

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2. 数値と単位

$$\sigma \approx 5.670374419 \times 10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$$

 

単位を分解すると：

$$\mathrm{W/m^2} = \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}\cdot \mathrm{m}^2},\quad \text{なので } \sigma T^4 \text{ はエネルギー/時間/面積 になる。}$$

 

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3. 導出の概要（プランクの法則からの積分）

黒体放射のスペクトル密度（波長あるいは周波数ごとの放射強度）は プランクの法則 で与えられる。たとえば単位波長あたりの放射輝度（全方向・半球上を含めて）を波長

$\lambda$

で積分し、全波長・全方向で積分すると温度の4乗に比例する結果になり、その比例定数が

$\sigma$

になる。

厳密には次の積分から得られる：

$$j^* = \int_{0}^{\infty} B_\lambda(T)\, d\lambda \times \pi$$

 

ここで

$B_\lambda(T)$

は波長

$\lambda$

における黒体のスペクトル放射率（放射輝度）、

$\pi$

は面あたり半球方向への立体角積分から来る因子。積分結果が

$\sigma T^4$

になる。

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4. 基本定数による表現（理論的な式）

ステファン・ボルツマン定数は他の基本定数を使って次のように表される：

$$\sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}$$

 

• 
  $k_B$ 

  ：ボルツマン定数（熱エネルギーと温度の関係）

• 
  $h$ 

  ：プランク定数（量子化を導入）

• 
  $c$ 

  ：光速

この式は量子論（プランクの法則）から得られる黒体放射の全波長積分の結果を使っている。

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5. 関連量

• エネルギー密度
  $u$ 

  （体積あたりの放射エネルギー）との関係：

  $$u = a T^4,\quad a = \frac{4\sigma}{c}$$つまり空間中に蓄えられた放射エネルギー密度も温度の4乗に比例する。

• 放射交換の一般形（周囲温度との間の net 放射）：
  $$q_{\text{rad}} = \varepsilon \sigma (T_s^4 – T_\infty^4)$$ここで

  $T_s$：表面温度、

  $T_\infty$：周囲の放射場の等価温度（たとえば遠方の壁の有効温度）。

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6. 使いどころの例

• 太陽や星の表面放射の見積もり（黒体近似）
• 建築・熱工学での放射冷却／加熱（壁・窓の放射）
• 宇宙空間の熱設計（対流がないため放射が主要な熱移動）
• 物体の温度測定：放射温度計は放射強度と
  $\sigma T^4$ 

  を使う

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7. 仮定と注意点

• 黒体（完全吸収体）に対して成り立つ。実際の物体は放射率
  $\varepsilon < 1$ 

  なので、

  $\varepsilon$ 

  を掛ける必要がある。

• 表面が均一で拡散的に放射すると仮定している（方向依存性がある場合はさらに視線方向の補正が必要）。
• 近赤外～可視など波長依存性が重要な場合は、スペクトル的に積分したプランクの法則の形で扱うこともある。

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必要なら、実際の例（たとえば温度 1000 K の黒体がどれだけ放射するかの数値計算）、放射と対流の連成、放射交換係数の導出、あるいはスペクトル分布（ウィーンの変位則との関係）も出せます。どちらがよいですか？

 

ステファンボルツマンの法則は発熱物体の温度の4乗引く周囲環境としていますが、放熱側との差が輻射熱となるのですか？

とても良い理解の方向です。
はい、あなたの言う通り、ステファン＝ボルツマンの法則を「周囲との温度差（正確には温度の4乗差）」で扱うとき、
その差こそが 正味の輻射熱（＝放熱または吸熱） になります。

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🔹 1. ステファン＝ボルツマンの法則の基本形

完全放射体（黒体）からの放射エネルギー量（単位面積あたりの放射強度）は：
[
E = \sigma T^4
]

• (E)：単位面積あたりの放射エネルギー（W/m²）
• (\sigma)：ステファン＝ボルツマン定数（(5.670 \times 10^{-8}, \mathrm{W/m^2,K^4})）
• (T)：絶対温度（K）

これは「物体が自分から放射するエネルギー量」を表します。

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🔹 2. 周囲環境との間の正味の輻射熱流束

現実には、周囲（壁・空気・環境）からも同様に放射を受けています。
したがって、正味で出ていく輻射熱量は：
[
q = \sigma , \varepsilon , (T_\text{物体}^4 – T_\text{周囲}^4)
]

• (\varepsilon)：物体の放射率（0〜1）
  → 黒体なら1、金属光沢面などは0.1以下のこともあります。
• (T_\text{物体})：物体の絶対温度
• (T_\text{周囲})：周囲の放射環境温度（たとえば壁面温度など）

つまり、「放射側（物体）と受熱側（周囲）の (T^4) の差」が、一方向あたりの正味放熱量を決めます。

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🔹 3. 物理的なイメージ

• 物体は (E_\text{emit} = \sigma\varepsilon T_\text{物体}^4) だけ放射します。
• 同時に、周囲から (E_\text{abs} = \sigma\varepsilon T_\text{周囲}^4) だけ吸収します。
• したがって差し引き：
  [
  q = E_\text{emit} – E_\text{abs} = \sigma\varepsilon (T_\text{物体}^4 – T_\text{周囲}^4)
  ]
  これが「放熱側との差が輻射熱となる」というあなたの理解と一致します。

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🔹 4. 注意点：小さな温度差では近似できる

もし温度差が小さい場合（たとえば (T_\text{物体} \approx T_\text{周囲})）、
[
T_\text{物体}^4 – T_\text{周囲}^4 \approx 4 T_\text{周囲}^3 (T_\text{物体} – T_\text{周囲})
]
と近似でき、見かけ上は「温度差に比例」する放熱になります。
この形で、対流や伝導のように「線形な熱抵抗」として扱うこともよくあります。

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🔹 5. まとめ

項目	内容
法則名	ステファン＝ボルツマンの法則
放射熱流束	( q = \sigma\varepsilon(T_\text{物体}^4 – T_\text{周囲}^4) )
意味	物体が放射するエネルギーと周囲から受け取るエネルギーの差
差の物理的意味	「放熱側（物体）」と「吸熱側（周囲）」の温度⁴の差が正味の輻射熱
放射率 (\varepsilon)	表面の性質によって異なる（鏡面金属 ≪ 黒体）

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希望があれば、これを視覚的に理解できる**「放射と吸収のエネルギーのやりとり図」**を作ることもできます。
（物体・周囲・矢印付きで (σT^4) の流れを示す教材風イラスト）
作成してみましょうか？