これは2次元流れの z 成分の渦度（xy 平面に直交する方向の渦度）で、 $$\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.$$   与えられた $$u=A(x+y)\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=A,\qquad v=A(x-y)\Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x}=A,$$   ゆえに $$\omega_z = A - A = 0.$$   答え：⑤ 0   参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-32解答例 | 技術士のたまご 渦 | 副業の宮殿【PR】

Z方向の渦度にはZ方向の速度ベクトルは関係がないのですか？

その通り、z方向の渦度（ $\omega_z$ ）の式には z 方向の速度成分 $w$ は現れません。一般の三次元速度ベクトル $\mathbf{v}=(u,v,w)$ に対して渦度ベクトルは $$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}$$   で、各成分は $$\omega_x=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\quad \omega_y=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\quad \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.$$   だから $\omega_z$ （＝z軸周りの局所的な回転）は $u,v$ の x,y に関する変化だけで決まり、 $w$ の大小や分布は直接関係しません。 直感的には： $\omega_z$ は xy 平面内での回転（z軸を中心とした渦）を表すので、その原因は横方向成分 $u,v$ のせん断であり、軸方向の流れ $w$ 自体はその回転を生まない、ということです。 ただし $w$ が $x$ や $y$ で変化すると、 $\omega_x,\omega_y$ には寄与し、それらの成分を通じて渦の構造全体に間接的な影響（たとえば渦の伸長・捻じれなどのダイナミクス）を与えることはあります。  

Z方向の渦度とは、Z軸まわりの渦度ということですね

その通りです。 $\omega_z$ は z 軸まわりの回転の強さ（渦度の z 成分）で、式で言うと $$\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$$   です。これは xy 平面内の局所的な回転（z 軸を中心とした渦）の度合いを表します。 補足すると、渦度ベクトル $\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v}$ は流体要素の局所的な角速度の 2 倍に相当し、右ねじの法則に従って向きが決まります。たとえば $\omega_z>0$ なら、正の z 軸方向から見て流れが 反時計回り に回っていることを意味します。  

x 方向に進むにつれて、y 方向の速度がどう変化するか。 をu=A（ｘ＋y）とu=A(x+dx+y)みたいにしなくていいのですか？

とても鋭い質問です。 結論から言うと、あなたが書いたような $u=A(x+y),u=A(x+dx+y)$ のような「2点を比較する考え方」は微分の出発点として正しいです。 ただし、実際の式（(\frac{\partial v}{\partial x}) など）では、その 差分を極限的に小さくした結果（1点での傾き） を表しています。

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🔹 1. 微分の定義から見ると

偏微分は「他の変数を固定して、ある方向にほんの少し進んだときの変化率」です。 たとえば、 $\frac{\partial v}{\partial x}$ の定義は $\frac{\partial v}{\partial x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{v(x+\mathrm{\Delta }x,y)-v(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}.$ つまりあなたの言う

(v(x, y)) と (v(x + dx, y)) の差を取る

のはまさにこの式の出発点です。

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🔹 2. 渦度式の「2つの偏微分」はこう理解できます

\( \omega_z = \underbrace{\frac{\partial v}{\partial x}}_{\text{x方向の変化（vの傾き）}}

\underbrace{\frac{\partial u}{\partial y}}_{\text{y方向の変化（uの傾き）}} \) それぞれは「隣り合う微小領域の速度差を極限でとったもの」なので、 「2点での差」ではなく「1点での変化率（傾き）」として扱います。

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🔹 3. 例：(u = A(x + y), v = A(x - y)) の場合

まず、各偏微分を普通に計算します： $\frac{\partial v}{\partial x}=A,\frac{\partial u}{\partial y}=A.$ だから (\omega_z = A - A = 0)。 でも実際の定義に戻ると、 [ \frac{\partial v}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x, y) - v(x, y)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{A$(x+\mathrm{\Delta }x)-y$ - A(x - y)}{\Delta x} = A. ] 同様に (\frac{\partial u}{\partial y} = A)。 これが偏微分の「2点比較」的な出発点の形です。

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🔹 4. まとめ

概念	数式	物理的意味
あなたの式（2点）	(v(x+dx,y)-v(x,y))	ある小さな距離でどれだけ速度が変わるか
偏微分の式	(\frac{\partial v}{\partial x})	その差を dx→0 にした極限（1点での傾き）
渦度の式	(\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})	流体要素の回転率（x・y方向の変化の差）

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したがって、

「2点の微分が必要では？」 という感覚はとても正しいです。 数学的には、その2点の差を極限的に近づけて1点での変化率にしたのが偏微分であり、 渦度の式はその結果を使って局所的な回転を評価しています。