均質な断面をもつ Euler–Bernoulli 梁の自由曲げ振動の運動方程式は，単位長さ当たり質量

$ρA$

による慣性項と，曲げ剛性

$B$

による４次微分項のバランスで表されます。すなわち

$$ρA\,\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + B\,\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}=0$$

 

となるので，選択肢①が正解です。

 

参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-22解答例 | 技術士のたまご

導出過程の解説してください

以下の手順で，均質な Euler–Bernoulli 梁の自由曲げ振動方程式

$$ρA\,\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + B\,\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = 0$$

 

を導出します。

---

1. モデル化と仮定

1. 梁は長さ方向
   $x$ 

   に沿って細長く，断面は均質で変化しない。

2. 変形は小振幅で，断面が変形せず「断面は変形前と平行に保たれる」（Plane sections remain plane）．
3. 軸方向変形やせん断ひずみは無視し，曲げのみを扱う（Euler–Bernoulli 仮定）。

---

2. 曲げモーメント–曲率関係

材料のヤング率

$E$

，断面２次モーメント

$I$

を用いると，曲げ剛性

$B=EI$

に対して，

$$M(x,t) = B\,\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial x^2}$$

 

が成り立ちます。ここで

$w(x,t)$

は梁のたわみです。

---

3. せん断力の定義

曲げモーメントが

$x$

方向に変化すると，せん断力

$Q(x,t)$

が生じ，

$$Q(x,t) = \frac{\partial M}{\partial x} = B\,\frac{\partial^3 w}{\partial x^3}.$$

 

---

4. 微小要素 $dx$

 

の垂直力釣り合い

梁の微小要素

$[x,\,x+dx]$

を取り，垂直方向力の釣り合いを考えると，
左端で受ける

$Q(x)$

と右端で受ける

$Q(x+dx)$

の差が，その要素の慣性力になる：

$$Q(x) – Q(x+dx) \;=\; ρA\,dx\;\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}.$$

 

両辺を

$dx$

で割り，

$dx\to0$

とすると，

$$-\,\frac{\partial Q}{\partial x} = ρA\,\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}.$$

 

---

5. せん断力 $Q$

 

の展開

上記の

$Q=B\,\partial^3w/\partial x^3$

を代入すると，

$$-\,B\,\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial^3 w}{\partial x^3}\Bigr) = ρA\,\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} \quad\Longrightarrow\quad -\,B\,\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = ρA\,\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}.$$

 

---

6. 最終形

両辺に

$-1$

を掛けて整理すると，最終的に

$$\boxed{$$

 

が得られます。

以上が，Euler–Bernoulli 梁の自由曲げ振動方程式の導出過程です。