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令和2年度技術士第一次試験問題[機械部門] 専門科目Ⅲ-6 片持ちはりの自由端でのたわみ
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解答
自由端のたわみ
wl48EI
よって ③ が最も適切です。
導出(片持ちはり・等分布荷重)
- 座標系
固定端を x=0
、自由端を
x=l
とする。荷重
w[N/m]
は下向きに一様に作用。
- せん断力
V(x)
V(x)=w(l−x)
- 曲げモーメント
M(x)
せん断の積分
M(x)=∫V(x)dx=w2(l−x)2(下向き荷重を負符号で取る流儀もあるが、符号は一貫していればよい。)
- たわみ微分方程式
EId2ydx2=M(x)=w2(l−x)2
- 角度(傾き)
θ(x)=dy/dx
EIθ(x)=∫x0w2(l−ξ)2dξ=w2[l2x−lx2+x33]
- たわみ
y(x)
EIy(x)=∫x0EIθ(η)dη=w2[l2x22−lx33+x412]
- 境界条件
固定端で y(0)=0,θ(0)=0
を満たしているので積分定数は不要。
- 自由端(
x=l
)のたわみ
y(l)=w2EI[l42−l43+l412]=wl48EI
参考式(覚えておくと便利)
荷重条件 |
最大たわみ(端点) |
たわみ係数 |
先端集中荷重
P |
Pl3/(3EI) |
1/3 |
等分布荷重
w |
wl4/(8EI) |
1/8 |
(本問は下段のケース)
参考:技術士第一次試験-令和2年度機械部門Ⅲ-6解答例 | 技術士のたまご
曲げモーメントはせん断の積分なのですか?距離×せん断ではないですか?
せん断力 V と曲げモーメント M の関係は
dMdx=V(x)
1. 微小要素のつり合いから導くと
片持ちはりの任意断面で幅 dx の微小片を取り、鉛直方向とモーメントのつり合いを書きます。
つり合い |
得られる微分方程式 |
鉛直力 ∑Fy=0 |
V(x)+w(x)dx−V(x+dx)=0⟹dVdx=−w(x) |
モーメント ∑M=0 |
M(x)+V(x)dx+w(x)dx(dx/2)−M(x+dx)=0⟹dMdx=V(x) |
したがって せん断力はモーメントの空間微分、逆に
M(x)=∫V(x)dx+C
となります。
2. 「せん断×距離」と「積分」の関係
- せん断が区間内で一定(=点荷重 P だけが掛かっている区間など)
V(x)=P が定数なので
M(x)=∫Pdx=Px+C⟹“せん断(=P)×距離(=x)”つまり 「せん断×距離」 は「積分」の特殊ケースです。
- せん断が位置によって変わる(等分布荷重など)
例:片持ちはりに一様荷重 w
V(x)=w(l−x)(右側の荷重の合力)は x の一次関数なので
M(x)=∫x0w(l−ξ)dξ=w2(l−x)2(+C)となり、単純に「せん断×距離」では表せません。
3. イメージしやすい整理
荷重の種類 |
V(x) の形 |
M(x) の求め方 |
点荷重 P |
区間内は定数 P |
M(x)=P⋅x ─ 「せん断×距離」でOK |
等分布荷重 w |
一次関数 |
M(x)=∫V(x)dx が必須 |
任意分布荷重 w(x) |
微分方程式 dV/dx=−w(x) |
2段階の積分で求める |
まとめ
- 一般には M(x)=∫V(x)dx
- せん断が一定の区間だけ → 「せん断×距離」がその積分結果と一致するだけ
したがってご質問の
曲げモーメントはせん断の積分なのですか?距離×せん断ではないですか?
という疑問は、
- “積分” が本質的な一般式
- “せん断×距離” は せん断が一定の場合に限り その積分が簡単な形で表れる特別ケース
という二段構えで整理するとスッキリします。