フーリエ解析とは
フーリエ解析とは、周期的な信号を複数の正弦波や余弦波の和の形に分解する数学的手法です。この手法は、周期的な信号の周波数成分を分析し、波形や周波数スペクトルを可視化するために使用されます。具体的には、フーリエ解析は、信号を時間領域から周波数領域に変換することによって、周波数成分を分析します。この変換によって、信号がどの周波数成分から構成されているかを可視化することができます。
また、フーリエ解析は、音声、画像、ビデオなどの信号処理アプリケーションに広く使用されています。例えば、音声の場合、フーリエ解析は、音楽や話し声の周波数成分を分析し、それをスペクトル表示することができます。また、画像の場合、フーリエ解析は、画像の周波数成分を分析して、フィルタリングや圧縮などの画像処理技術に応用されます。
どのように使われているのか
フーリエ解析は、様々な分野で幅広く利用されています。以下に、フーリエ解析の主な利用例をいくつか挙げます。
音声処理：フーリエ解析は、音声信号を周波数成分に分解して、スペクトル解析を行うことができます。これにより、音声の周波数特性を分析し、音声信号に含まれるノイズを除去することができます。また、音声の圧縮やエフェクト処理にも応用されます。
映像処理：フーリエ解析は、画像を周波数成分に分解して、フィルタリングやエフェクト処理を行うことができます。また、画像圧縮技術にも応用されます。
信号解析：フーリエ解析は、電気信号や電磁波などの信号を周波数成分に分解して、スペクトル解析を行うことができます。これにより、信号の周波数特性を分析し、ノイズの除去やフィルタリングを行うことができます。
構造解析：フーリエ解析は、物体の振動を周波数成分に分解して、構造解析を行うことができます。これにより、物体の特性や強度を分析することができます。
金融分析：フーリエ解析は、金融市場の変動を周波数成分に分解して、分析することができます。これにより、市場の特性や動向を分析し、投資戦略を立てることができます。
これらのように、フーリエ解析は、多岐にわたる分野で利用されています。
金融分析での使われ方
金融分析において、フーリエ解析は、時系列データを周波数成分に分解して、市場の周期性や動向を分析するために使用されます。例えば、株価の時系列データをフーリエ解析することで、どのような周波数成分が含まれているかを分析することができます。これにより、市場にはどのような周期性があるかを分析し、投資戦略を立てることができます。また、市場の変動がどのような周期性を持っているかを分析することで、将来の市場の動向を予測することができます。さらに、フーリエ解析は、金融データのフィルタリングにも使用されます。例えば、時系列データからノイズを取り除くために、特定の周波数成分をカットオフすることができます。また、フーリエ解析は、オプションプライシングモデルの一部としても使用されます。オプションプライシングモデルは、株式市場の動向を予測するためのモデルであり、フーリエ解析を用いて市場の波動性をモデル化することができます。これらのように、金融分析においてフーリエ解析は、市場の動向や投資戦略の決定、金融商品のプライシングなど、様々な分野で活用されています。
フーリエ解析のために必要な知識
フーリエ解析を学ぶためには、以下のような数学的な知識が必要となります。
微積分学：フーリエ解析は、関数を無限級数で表現する手法であり、関数の微積分学的な知識が必要です。具体的には、微分、積分、微分方程式などが含まれます。
複素数：フーリエ解析では、複素数を用いて波形を表現するため、複素数の基本的な知識が必要です。
線形代数：フーリエ解析は、ベクトル空間の一種である関数空間上で定義されています。線形代数の知識を持っていると、関数空間上でのフーリエ解析の理解が容易になります。
数学解析学：フーリエ解析は、数学解析学の分野に属するため、数学解析学の基礎的な知識が必要です。具体的には、収束性、一様収束性、フーリエ級数の収束定理、リプシッツ連続性などが含まれます。
プログラミング：フーリエ解析は、数値計算によって実行されるため、プログラミングの基礎的な知識が必要です。特に、MATLAB、Python、Rなどの数値計算ソフトウェアを使用する場合は、それらの言語の基本的な文法や数値計算ライブラリの使用方法を学ぶ必要があります。
三角関数
加法定理
三角関数の加法定理とは、2つの三角関数の和（または差）を、1つの三角関数やその積の形に変形する公式です。
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)
加法定理を基に積⇒和の公式を求めます。
sin(a)cos(b) = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b)
cos(a)cos(b) = 1/2[cos(a+b) + cos(a-b)
sin(a)sin(b) = 1/2[cos(a-b) – cos(a+b)]
複素数
複素数は、実数と虚数の和で表される数です。虚数単位 i を用いて、a + bi と表されます。ここで、a は実数部、b は虚数部と呼ばれます。
複素数の演算は、加算、減算、乗算、除算が可能です。加算、減算は実数の場合と同じように行います。乗算は、実数の乗算に加えて、虚数同士の乗算や、虚数と実数の乗算においても、以下の公式を用いることができます。
(i^2 = -1)
(a+bi)(c+di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
また、除算は、分母と分子に共役複素数をかけることで、以下の公式を用いることができます。
(a+bi) / (c+di) = (a+bi)(c-di) / (c^2 + d^2)
複素数には、モジュラスと偏角という概念があります。モジュラスは、複素数の絶対値を表し、以下の公式で求めることができます。
|a+bi| = sqrt(a^2 + b^2)
偏角は、複素数の極座標形式で表される角度を表し、以下の公式で求めることができます。
θ = tan^(-1)(b / a)
これらの基本的な知識を理解していると、複素数を用いたフーリエ解析や信号処理の理解が容易になります。
オイラーの公式
オイラーの公式は、以下のように表されます。
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
ここで、e はネイピア数（自然対数の底）、i は虚数単位、x は実数です。この公式は、三角関数（sin, cos）と指数関数（e^(x)）との関係を示しており、数学や物理学の分野で広く利用されています。
この公式は、指数関数のマクローリン級数展開を用いることで導出することができます。指数関数のマクローリン級数展開は以下のようになります。
e^(x) = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …
ここで、x = ix を代入すると、
e^(ix) = 1 + ix/1! + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + …
= 1 + ix – x^2/2! – ix^3/3! + …
= (1 – x^2/2! + x^4/4! – …) + i(x – x^3/3! + x^5/5! – …)
= cos(x) + i*sin(x)
となり、オイラーの公式が導かれます。
フーリエ解析では、周期的な信号を複数の正弦波（sin関数）や余弦波（cos関数）の重ね合わせに分解することができます。この際に、オイラーの公式を用いることで、正弦波と余弦波を複素指数関数の形で表現することができます。
具体的には、周期 T を持つ信号 f(t) をフーリエ級数展開する際に、以下の式が用いられます。
f(t) = a_0 + Σ(n=1 to ∞) [a_ncos(2πnTt/T) + b_nsin(2πnTt/T)]
ここで、a_n と b_n はフーリエ係数と呼ばれる定数で、f(t) の周期的な性質を表す重要なパラメーターです。これらの係数を求めるために、オイラーの公式を使って、sin関数とcos関数を複素指数関数の形に変換することができます。具体的には、以下の式を用いて、cos関数とsin関数を複素指数関数に変換することができます。
cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix))/2
sin(x) = (e^(ix) – e^(-ix))/(2i)
このようにして、複素指数関数を用いることで、フーリエ級数展開をより簡単に扱うことができます。
フーリエ級数
フーリエ級数は、周期的な関数を三角関数の和で表現する方法です。周期がTの関数f(t)について、フーリエ級数展開すると以下のようになります。
f(t) = a0 + Σ [an cos(nωt) + bn sin(nωt)]
ここで、ω=2π/Tは角周波数であり、a0, an, bnはフーリエ係数と呼ばれます。a0は直流成分、anとbnはそれぞれcosine成分とsine成分を表します。
周期Tの関数f(t)のフーリエ係数anとbnは以下のように求められます。
an = (2/T) ∫[0,T] f(t) cos(nωt) dt
bn = (2/T) ∫[0,T] f(t) sin(nωt) dt
ここで、ω=2π/Tは角周波数です。また、f(t)は周期Tの関数であり、∫[0,T]は0からTまでの積分を表します。anはcosine成分、bnはsine成分を表します。a0は直流成分で、a0 = (1/T) ∫[0,T] f(t) dt で求められます。
フーリエ級数展開によって、周期的な関数を三角関数の和で表現することができます。ひとつ実例を見てみましょう。
引用：東北大学 工学部 材料科学総合学科 工業数学II（小原） ２．フーリエ級数展開
不連続点におけるフーリエ級数の値は収束しないため、その値を持ちません。不連続点におけるフーリエ級数の値は、その点の左右で異なる関数値の平均になります。例えば、x=0での不連続点では、f(0-)=-1、f(0+)=1なので、その平均は0になります。
フーリエ係数についてもっと詳しく学びたい方には
慶應大学講義 物理情報数学C 第五回 フーリエ級数
フーリエ係数の公式を導出
直交性の公式は以下のようになります。
∫_a^b sin(nπx/L) sin(mπx/L) dx = {0 (n ≠ m), L/2 (n = m = 0)}
∫_a^b cos(nπx/L) cos(mπx/L) dx = {0 (n ≠ m), L/2 (n = m ≠ 0)}
∫_a^b sin(nπx/L) cos(mπx/L) dx = 0
ここで、aとbは区間の端点、Lは区間の長さ、nとmは整数です。
これを使うことでフーリエ係数を導出することができます。
詳しくは動画を確認してください。
【大学数学】フーリエ解析入門②(フーリエ級数展開 II)/全5講【解析学】
複素フーリエ級数
複素フーリエ級数は、周期関数を複素数の和として表す方法の一つで、実フーリエ級数と同様に周期関数を三角関数や正弦波の和として表すフーリエ級数展開に代わる方法です。実フーリエ級数が、三角関数の余弦と正弦の和で表現されるのに対し、複素フーリエ級数では、複素指数関数の和で表現されます。
具体的には、周期Tの関数f(x)を以下のように表現します。
f(x) = ∑_{n=-∞}^∞ c_n e^{i nω x}
ここで、ω=2π/Tは角周波数であり、c_nは複素係数であり、以下のように与えられます。
c_n = (1/T) ∫_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i nω x} dx
このように、複素フーリエ級数では、実フーリエ級数のcosとsinの和を、複素数の指数関数の和で表現することができます。
複素フーリエ級数展開において、係数$c_n$は以下のようにフーリエ級数展開の係数$a_n$と$b_n$と関係しています。
$c_n = \frac{1}{2}(a_n – ib_n)$
また、逆に$a_n$と$b_n$を$c_n$で表すと以下のようになります。
$a_n = c_n + c_{-n}^*$
$b_n = \frac{1}{i}(c_n – c_{-n}^*)$
ここで、$^*$は複素共役を表します。つまり、複素フーリエ級数展開における$c_n$は、実数の$a_n$と$b_n$を含むように定義されています。
例題：
フーリエ変換
フーリエ変換は、時間領域の連続信号を周波数領域に変換する手法です。時間領域の信号を周波数成分のスペクトルに変換することで、信号の周波数特性を分析することができます。
具体的には、連続時間領域の信号f(t)をフーリエ変換F(ω)に変換することを考えます。ここでωは角周波数であり、単位はrad/sです。フーリエ変換F(ω)は以下の式で表されます。
F(ω) = ∫[ -∞ , ∞ ] f(t) e^{-iωt} dt
ここで、e^{-jωt}は複素指数関数であり、jは虚数単位です。フーリエ変換は、この式で表される積分を計算することで求めることができます。
フーリエ変換は、時間領域の信号を周波数領域に変換するため、周波数領域での信号の特性を分析することができます。具体的には、周波数領域でのスペクトルのピークや帯域幅などを分析することができます。また、逆フーリエ変換を用いることで、周波数領域で変換された信号を時間領域に戻すことができます。
逆フーリエ変換の公式は以下のように表されます。
f(t) = (1/2π) ∫[ -∞ , ∞ ] F(ω) e^(iωt) dω
ここで、F(ω)は信号の周波数スペクトル、f(t)は信号の時間軸上の波形を表します。逆フーリエ変換は、周波数スペクトルF(ω)から元の信号f(t)を再構成するために使用されます。具体的には、F(ω)を逆フーリエ変換の公式に代入し、tについて積分することで、f(t)を求めることができます。
ここで今までの復習を兼ねて、複素フーリエ級数展開とフーリエ積分公式を見てみましょう。
複素フーリエ級数展開： f(x) = ∑_{n=-∞}^{∞} c_n e^{i n ω_0 x}
フーリエ係数： c_n = 1/T ∫_{-T/2}^{T/2} f(x) e^{-i n ω_0 x} dx
ここで、ω_0 = 2π/Tは基本角周波数である。一方、非周期関数g(x)に対して、周波数領域での表現を以下のように与えることができる。
フーリエ積分公式： f(x) = (1/2π)∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{i ω x} dω
周波数スペクトル： F(ω) =∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-i ω t} dt ・・・ (フーリエ変換)
対応関係をもっと詳しく知りたい方：フーリエ積分・フーリエ変換
ラプラス変換
ラプラス変換は、時間領域の関数を複素平面上の関数に変換する操作です。具体的には、ラプラス変換を用いることで、微分方程式や積分方程式などの線型常微分方程式を解析的に解くことができます。
時間領域の関数f(t)のラプラス変換F(s)は以下の式で表されます。
F(s) = ∫[0,∞) f(t) e^(-st) dt
ここで、sは複素数のパラメーターであり、e^(-st)は複素指数関数です。
ラプラス変換は、フーリエ変換と似たような変換であり、周波数領域ではなくs領域で表されます。ラプラス変換がフーリエ変換の一般化として扱われることがあります。具体的には、ラプラス変換は、フーリエ変換をs軸に沿って解析接続したものとして表現されることがあります。また、特定の条件が満たされる場合には、ラプラス変換とフーリエ変換は一致することがあります。
ただし、ラプラス変換とフーリエ変換は、変換の対象となる関数が異なるため、適用する問題や場面が異なることがあります。ラプラス変換は、時刻0から無限遠に向かって発生する信号や、初期値が与えられた微分方程式の解析に適しています。一方、フーリエ変換は、周期的な信号や、周波数成分を抽出したい信号の解析に適しています。
ラプラス変換表
ラプラス変換表は、与えられた関数をラプラス変換する際に、どのようなラプラス変換公式を使用すればよいかを示す参考書として使用されます。
| 時間領域関数 f(t) | ラプラス領域関数 F(s) |
| 単位ステップ関数 u(t) | 1/s |
| tn (n >= 0) | n!/s^(n+1) |
| e^-at | 1/(s+a) |
| cos(wt) | s/(s^2+w^2) |
| sin(wt) | w/(s^2+w^2) |
| e^-at cos(wt) | (s+a)/( (s+a)^2 + w^2 ) |
| e^-at sin(wt) | w/( (s+a)^2 + w^2 ) |
| t^n e^-at | n!/ (s+a)^(n+1) |
| δ(t) | 1 |
| δ(t-a) | e^-as |
| f(t) + g(t) | F(s) + G(s) |
| kf(t) | kF(s) |
| f(t-a) u(t-a) | e^-as F(s) |
| ∫f(t)dt (積分区間0からt) | F(s)/s |
| df(t)/dt | sF(s) – f(0) |
| ∫f(t)e^-stdt | F(s + iω) |
| f'(t) | sF(s) – f(0) |
| f”(t) | s^2 F(s) – sf(0) – f'(0) |
離散フーリエ変換
離散フーリエ変換（Discrete Fourier Transform, DFT）は、離散的な信号を周波数領域で表現する手法のひとつで、ディジタル信号処理において広く使われています。DFTは、有限個のサンプルを等間隔に取得したディジタル信号を、そのサンプルが表す周期関数の周波数成分を表す複素数値の列として表現します。
DFTにおいては、離散的なサンプルの数によって周波数分解能が決まります。具体的には、N個のサンプルを等間隔に取得した場合、周波数領域では0から(N-1)の整数に対応する周波数成分を表現することができます。また、DFTの逆変換によって、周波数領域で表現された信号を元の時間領域の信号に戻すことができます。
一般的なフーリエ変換は連続時間信号を周波数領域に変換するものであり、積分が使われます。一方、離散フーリエ変換は、離散時間信号を周波数領域に変換するものであり、和が使われます。和が用いられるのは周波数領域での信号の振幅と位相は、サンプリング周波数の整数倍の周波数の成分のみで決まり、それ以外の周波数成分では0となるからです。つまり積分型のフーリエ変換をすると結果が0になります。
フーリエ変換の公式
時系列関数 f(t) に対して、フーリエ変換 F(ω) は以下のように定義される。
F(ω) = ∫︎_{-∞}^∞ f(t) e^{-iωt} dt
離散フーリエ変換の公式
離散的な時系列関数 x[n] に対して、離散フーリエ変換 X[k] は以下のように定義される。
X[k] = ∑_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i(2π/N)kn}
ここで、N は x[n] のサンプル数である。
詳しくはこちら：離散フーリエ変換(DFT)の仕組みを完全に理解する
最後に・・・
フーリエ解析，ラプラス変換，線形システム論，制御論などもっと理解を深めたい方はこちらに進んでください。
詳しくはこちら：離散フーリエ変換(DFT)の仕組みを完全に理解する
