**断面2次モーメント(第二次モーメント)**は、材料力学や構造力学で断面の「曲げ剛性」や「たわみ」を計算する際に用いられる断面形状の幾何特性量です。英語では “area moment of inertia”“second moment of area” と呼ばれ、記号は一般的に II で表します。


1. 定義

断面2次モーメント II は、断面内部の微小面積要素 dAdA が、中立軸(曲げによる零ひずみ線)からどれだけ離れているかを2乗して重み付けした面積の総和です。式で書くと、

I=Ay2dAI = \int_A y^2 \, dA

  • AA … 断面積
  • yy … 中立軸からの垂直距離(断面内の位置座標)
  • 単位は [length]4\mathrm{[length]}^4(例:mm4\mathrm{mm^4}, m4\mathrm{m^4}

2. 断面2次モーメントが必要な理由

  1. 曲げ応力の計算
    曲げモーメント MM が作用すると、断面上のある位置(距離 yy)での曲げ応力 σ\sigma

    σ=MyI\sigma = \frac{M\,y}{I}で求められます。II が大きいほど応力は小さくなり、断面は「曲げに強い」ことを示します。

  2. たわみ計算
    梁端のたわみ量 δ\delta は、断面2次モーメント II を分母に持つ式で表され、II が大きいほどたわみが小さくなります。

3. 代表的な断面形状の II の公式

形状 式(中立軸中心) 単位
矩形断面 I=bh312I = \displaystyle \frac{b\,h^3}{12} length4\mathrm{length^4}
円断面 I=πd464I = \displaystyle \frac{\pi\,d^4}{64}
丸棒(半径 rr I=πr44I = \displaystyle \frac{\pi\,r^4}{4}
中空円筒 I=π(D4d4)64I = \displaystyle \frac{\pi\,(D^4 – d^4)}{64}
I形鋼(おおよそ) Ixbfh3bw(h2tf)312I_x \approx \displaystyle \frac{b_f\,h^3 – b_w\,(h-2t_f)^3}{12}
  • 矩形断面:幅 bb,高さ hh
  • 円断面:直径 dd
  • 丸棒:半径 rr
  • 中空円筒:外径 DD,内径 dd
  • I形鋼:フランジ幅 bfb_f,フランジ厚 tft_f,ウェブ厚 bwb_w,全高 hh

4. 平行軸の定理

中立軸が断面重心から離れた位置にある場合、平行軸の定理を使って計算します。

I=IG+Ad2I = I_G + A\,d^2

  • IGI_G:断面重心まわりの2次モーメント
  • AA:断面積
  • dd:重心まわり軸と新しい軸との距離

5. 実務での使いどころ

  • 梁・桁のたわみ設計:支間長、断面、使用荷重から必要な断面2次モーメントを逆算
  • 曲げ応力チェック:許容応力内であれば断面形状の決定に使う
  • 断面最適化:材料を節約しつつ必要強度を満たす断面形状を検討

まとめ

  • 断面2次モーメント II は断面の「曲げ剛性」を表す
  • 式は I=Ay2dA\displaystyle I = \int_A y^2\,dA
  • 矩形・円形など代表断面の公式が存在
  • 平行軸の定理で任意軸まわりにも対応
  • 梁のたわみ・曲げ応力計算に必須

ご質問や具体的な断面形状、数値例などございましたらお気軽にどうぞ!

 

定義式について詳しく教えてください

断面2次モーメントの定義式は、断面内の各微小面積要素 dAdA が中立軸(ゼロひずみ線)からどれだけ離れているかを重み付けした「面積の慣性モーメント」です。以下、座標系をとりながら詳しく見ていきましょう。


1. 座標系の設定

  1. 断面を xyxy 平面とし、厚さ方向は無視します。
  2. 中立軸(断面を曲げた際に伸縮しない軸)を、たとえば xx 軸(水平)上に置くとします。
  3. そうすると、断面内の任意点 PP の座標は (x,y)(x,y) になります。

2. Ix_x の定義式

中立軸を xx 軸とした場合、断面2次モーメント IxI_x は次の定義に従います。

Ix  =  Ay2dA\boxed{I_x \;=\;\int_{A} y^2\,\mathrm{d}A}

  • yy:中立軸(xx 軸)からの垂直距離
  • dA\mathrm{d}A:微小面積要素
  • 積分範囲:断面全域 AA

曲げ応力は σ=MxyIx\sigma = \tfrac{M_x\,y}{I_x} のように、この IxI_x によって決まります。


3. Iy_y と相乗慣性モーメント

同様に、垂直軸(yy 軸)まわりの断面2次モーメント IyI_y

Iy  =  Ax2dA\boxed{I_y \;=\;\int_{A} x^2\,\mathrm{d}A}

そして、断面の相乗慣性モーメント(product of inertia)も重要で、

Ixy  =  AxydA\boxed{I_{xy} \;=\;\int_{A} x\,y\,\mathrm{d}A}

  • IxyI_{xy} が非ゼロだと、曲げモーメントがねじり要素を生む場合があります。

4. 総合的な「極断面2次モーメント」

曲げ方向が任意の場合は、極座標での極断面2次モーメント(polar moment)も使います。

JO  =  Ar2dA(r=x2+y2)\boxed{J_O \;=\;\int_{A} r^2\,\mathrm{d}A} \quad\bigl(r=\sqrt{x^2+y^2}\bigr)

  • ねじり剛性 GJGJ の評価に用います。

極モーメントと直交2軸モーメントの関係は
  JO=Ix+Iy\;J_O = I_x + I_y\ です。


5. 微小要素での描き方

直感的には、断面を微小幅 dydy の水平スライスとして扱い、

  1. スライス幅:dydy
  2. スライスの長さ(断面に応じて):b(y)b(y)
  3. スライス面積:dA=b(y)dydA = b(y)\,dy
  4. 中立軸からの距離:yy

を代入して、

Ix=yminymaxy2[b(y)dy]I_x = \int_{y_{\min}}^{y_{\max}} y^2\,\bigl[b(y)\,dy\bigr]

のように1次元積分に帰着できます。矩形断面では b(y)=bb(y)=b 定数になるので

Ix=b ⁣h/2h/2y2dy=bh312.I_x = b\!\int_{-h/2}^{h/2} y^2\,dy = \frac{b\,h^3}{12}.


6. 平行軸の定理

中立軸が断面重心からずれている場合は、

Ix=Ix+Ad2\boxed{I_{x’} = I_x + A\,d^2}

  • IxI_x:重心軸まわりの 2 次モーメント
  • AA:断面積
  • dd:重心軸と新中立軸間の垂直距離

まとめ

  • 定義式
    • Ix=Ay2dAI_x=\displaystyle\int_A y^2\,dAIy=Ax2dAI_y=\int_A x^2\,dAIxy=AxydAI_{xy}=\int_A xy\,dA
    • 極モーメント J=Ar2dAJ=\int_A r^2\,dA
  • 座標選び積分範囲がポイント
  • 平行軸の定理で任意軸に対応

ご不明点や実際の断面形状への適用例(多角形, 円弧断面など)についてもお気軽にご相談ください!

定義式の積分はどのように解きますか?

定義式

Ix  =  Ay2dAI_x \;=\;\int_A y^2\,\mathrm{d}A

の積分手順は、断面形状に応じて「微小要素 dAdA を表現」し、「座標で積分範囲を指定」することで解きます。以下、代表的な例を2つ挙げて説明します。


例1:幅 bb、高さ hh矩形断面の場合

  1. 座標設定
    • xx 軸は矩形の幅方向、yy 軸は高さ方向。
    • 中立軸を矩形の中心(y=0y=0)にとります。
  2. 微小要素の取り方
    • 横スライス:厚さ dydy、長さは一定で bb
    • よって微小面積 dA=bdydA = b\,dy
  3. 積分範囲
    • 上端 y=+h/2y=+h/2 から下端 y=h/2y=-h/2 まで。
  4. 定義式への代入

    Ix=y=h2+h2y2(bdy)=bh/2h/2y2dyI_x = \int_{y=-\tfrac{h}{2}}^{+\tfrac{h}{2}} y^2 \,(b\,dy) = b \int_{-h/2}^{h/2} y^2\,dy

  5. 積分

    y2dy=y33Ix=b[y33]h/2h/2=b((h/2)3(h/2)33)=b2(h/2)33=bh312.\int y^2\,dy = \frac{y^3}{3} \quad\Longrightarrow\quad I_x = b\left[\frac{y^3}{3}\right]_{-h/2}^{\,h/2} = b\Bigl(\frac{(h/2)^3 – (-h/2)^3}{3}\Bigr) = b\frac{2\,(h/2)^3}{3} = \frac{b\,h^3}{12}.


例2:半径 rr円断面の場合

  1. 座標設定
    • 極座標 (r,θ)(r,\theta) を使い、中心を原点にとります。
    • 中立軸は通過する任意の直線ですが、極モーメント JJ(ねじり用)は全周対称なので極座標で扱うと楽です。
  2. 微小要素の取り方
    • リング状微小幅 drdr、角度幅 dθd\theta
    • dA=rdrdθdA = r\,dr\,d\theta
    • 中立軸からの距離はそのまま rr
  3. 積分範囲
    • rr:0 から RR
    • θ\theta:0 から 2π2\pi
  4. 極モーメント定義

    J=Ar2dA=θ=02π ⁣r=0Rr2(rdrdθ)=02π ⁣dθ0Rr3drJ = \int_A r^2\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{R} r^2\,(r\,dr\,d\theta) = \int_0^{2\pi}\!d\theta \int_0^{R} r^3\,dr

  5. 積分

    02πdθ=2π,0Rr3dr=R44,\int_0^{2\pi}d\theta =2\pi, \quad \int_0^{R}r^3\,dr = \frac{R^4}{4}, J=2πR44=πR42.\therefore \quad J = 2\pi\,\frac{R^4}{4} = \frac{\pi\,R^4}{2}.これが 極断面2次モーメント
    一方曲げ用 IxI_x(ある直径軸まわり)なら
      Ix=12J=πR44\;I_x = \tfrac{1}{2}J = \tfrac{\pi R^4}{4} です。


一般的な手順まとめ

  1. 中立軸を決める(曲げ軸・ねじり軸)
  2. 座標系を選ぶ(直交/極座標など)
  3. 微小面積要素 dAdA を式で表す
  4. 定義式に y2dAy^2\,dA(または x2dAx^2\,dA, r2dAr^2\,dA)を代入
  5. 積分範囲を決める
  6. 積分して閉形式の結果を得る

具体的な断面形状ごとに、④の dAdA と⑤の範囲設定だけ変えればすべて同じ流れで解けます。
もし他の形(中空矩形、I形鋼、多角形など)での手順が必要でしたら、遠慮なくお知らせください!

 

定義式の積分の意味を言葉で表すと、距離の2乗×微小面積を全域で足し合わせるということですか?

 

そのとおりです。

断面2次モーメントの定義式

Ix=Ay2dAI_x = \int_A y^2\,dA

を言葉で言い換えると、

「断面を無数の小さな面積要素に分割し、それぞれの要素が中立軸からどれだけ離れているかの距離の2乗に、その微小面積を掛けたものを、断面全域にわたって足し合わせる」

という意味になります。

  • y2y^2:中立軸からの距離を2乗したもの
  • dAdA:その位置にあるごく小さな面積
  • A\int_A:断面全体をなめて「足し合わせる」操作

距離の2乗で重み付けすることで、中央から離れた部分ほど「曲げに対して効く」度合いが大きく評価される、という性質を定量化しているわけです。

 

微小要素の取り方は縦スライスでもできますか?

 

はい。微小要素の取り方は自由で、縦スライス(縦長の小矩形)を使っても同じ結果が得られます。ただし、その場合は積分の順序や被積分関数(距離の2乗)が変わる点に注意してください。


1. 矩形断面での例

bb、高さ hh の矩形断面を考えます。中立軸を横方向(xx 軸)にとったときの IxI_x

Ix=Ay2dAI_x = \int_A y^2\,dA

ですが、縦スライスを使うと次のように書き直せます。

  1. 縦スライスの取り方
    幅方向に細いスライスを切り出し、

    dA=hdxdA = h\,dxと表せます(hh はスライスの高さ、矩形なので一定)。

  2. スライスごとの「モーメント」
    ただし IxI_x は各スライス内の微小面積要素すべてに対して y2y^2 を掛け合わせる必要があるため、
    スライス1枚あたりの寄与は

    y=h2+h2y2dy  =  h312 \int_{y=-\tfrac{h}{2}}^{+\tfrac{h}{2}} y^2 \,dy \;=\;\frac{h^3}{12}となり、これにスライス幅 dxdx を掛けます。

  3. 全幅にわたって積分

    Ix=x=b2+b2[h/2h/2y2dy]  dx=b/2b/2h312dx=h312bI_x = \int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{+\tfrac{b}{2}} \Bigl[\int_{-h/2}^{h/2}y^2\,dy\Bigr]\;dx = \int_{-b/2}^{b/2}\frac{h^3}{12}\,dx = \frac{h^3}{12}\,b

これで先ほどと同じ Ix=bh312\displaystyle I_x=\tfrac{b\,h^3}{12} が得られます。


2. まとめると…

  • 横スライス
    dA=bdy\,dA=b\,dy を使って
      Ix=bh/2h/2y2dy\;I_x = b\int_{-h/2}^{h/2} y^2\,dy
  • 縦スライス
    dA=hdx\,dA=h\,dx のスライスごとに「スライス内の y2y^2 積分」を先にやり、
      Ix=b/2b/2[h/2h/2y2dy]dx\;I_x = \int_{-b/2}^{b/2}\bigl[\int_{-h/2}^{h/2}y^2\,dy\bigr]dx

どちらの取り方でも面積を覆い尽くし、距離の2乗×面積を全域で足し合わせることに変わりはありません。
積分の順序(dxdy\int dx\int dydydx\int dy\int dx)を入れ替えただけ、というイメージです。