**断面2次モーメント（第二次モーメント）**は、材料力学や構造力学で断面の「曲げ剛性」や「たわみ」を計算する際に用いられる断面形状の幾何特性量です。英語では “area moment of inertia” や “second moment of area” と呼ばれ、記号は一般的に $I$ で表します。

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1. 定義

断面2次モーメント $I$ は、断面内部の微小面積要素 $dA$ が、中立軸（曲げによる零ひずみ線）からどれだけ離れているかを２乗して重み付けした面積の総和です。式で書くと、

$$I = \int_A y^2 \, dA$$

• $A$ … 断面積
• $y$ … 中立軸からの垂直距離（断面内の位置座標）
• 単位は $\mathrm{[length]}^4$（例：$\mathrm{mm^4}$, $\mathrm{m^4}$）

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2. 断面2次モーメントが必要な理由

1. 曲げ応力の計算
   曲げモーメント $M$ が作用すると、断面上のある位置（距離 $y$）での曲げ応力 $\sigma$ は

   $$\sigma = \frac{M\,y}{I}$$で求められます。$I$ が大きいほど応力は小さくなり、断面は「曲げに強い」ことを示します。

2. たわみ計算
   梁端のたわみ量 $\delta$ は、断面2次モーメント $I$ を分母に持つ式で表され、$I$ が大きいほどたわみが小さくなります。

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3. 代表的な断面形状の $I$ の公式

形状	式（中立軸中心）	単位
矩形断面	$I = \displaystyle \frac{b\,h^3}{12}$	$\mathrm{length^4}$
円断面	$I = \displaystyle \frac{\pi\,d^4}{64}$	〃
丸棒（半径 $r$）	$I = \displaystyle \frac{\pi\,r^4}{4}$	〃
中空円筒	$I = \displaystyle \frac{\pi\,(D^4 – d^4)}{64}$	〃
I形鋼（おおよそ）	$I_x \approx \displaystyle \frac{b_f\,h^3 – b_w\,(h-2t_f)^3}{12}$	〃

• 矩形断面：幅 $b$，高さ $h$
• 円断面：直径 $d$
• 丸棒：半径 $r$
• 中空円筒：外径 $D$，内径 $d$
• I形鋼：フランジ幅 $b_f$，フランジ厚 $t_f$，ウェブ厚 $b_w$，全高 $h$

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4. 平行軸の定理

中立軸が断面重心から離れた位置にある場合、平行軸の定理を使って計算します。

$$I = I_G + A\,d^2$$

• $I_G$：断面重心まわりの2次モーメント
• $A$：断面積
• $d$：重心まわり軸と新しい軸との距離

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5. 実務での使いどころ

• 梁・桁のたわみ設計：支間長、断面、使用荷重から必要な断面2次モーメントを逆算
• 曲げ応力チェック：許容応力内であれば断面形状の決定に使う
• 断面最適化：材料を節約しつつ必要強度を満たす断面形状を検討

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まとめ

• 断面2次モーメント $I$ は断面の「曲げ剛性」を表す
• 式は $\displaystyle I = \int_A y^2\,dA$
• 矩形・円形など代表断面の公式が存在
• 平行軸の定理で任意軸まわりにも対応
• 梁のたわみ・曲げ応力計算に必須

ご質問や具体的な断面形状、数値例などございましたらお気軽にどうぞ！

 

定義式について詳しく教えてください

断面２次モーメントの定義式は、断面内の各微小面積要素 $dA$ が中立軸（ゼロひずみ線）からどれだけ離れているかを重み付けした「面積の慣性モーメント」です。以下、座標系をとりながら詳しく見ていきましょう。

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1. 座標系の設定

1. 断面を $xy$ 平面とし、厚さ方向は無視します。
2. 中立軸（断面を曲げた際に伸縮しない軸）を、たとえば $x$ 軸（水平）上に置くとします。
3. そうすると、断面内の任意点 $P$ の座標は $(x,y)$ になります。

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2. I$_x$ の定義式

中立軸を $x$ 軸とした場合、断面２次モーメント $I_x$ は次の定義に従います。

$$\boxed{I_x \;=\;\int_{A} y^2\,\mathrm{d}A}$$

• $y$：中立軸（$x$ 軸）からの垂直距離
• $\mathrm{d}A$：微小面積要素
• 積分範囲：断面全域 $A$

曲げ応力は $\sigma = \tfrac{M_x\,y}{I_x}$ のように、この $I_x$ によって決まります。

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3. I$_y$ と相乗慣性モーメント

同様に、垂直軸（$y$ 軸）まわりの断面２次モーメント $I_y$ は

$$\boxed{I_y \;=\;\int_{A} x^2\,\mathrm{d}A}$$

そして、断面の相乗慣性モーメント（product of inertia）も重要で、

$$\boxed{I_{xy} \;=\;\int_{A} x\,y\,\mathrm{d}A}$$

• $I_{xy}$ が非ゼロだと、曲げモーメントがねじり要素を生む場合があります。

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4. 総合的な「極断面２次モーメント」

曲げ方向が任意の場合は、極座標での極断面２次モーメント（polar moment）も使います。

$$\boxed{J_O \;=\;\int_{A} r^2\,\mathrm{d}A} \quad\bigl(r=\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$$

• ねじり剛性 $GJ$ の評価に用います。

極モーメントと直交２軸モーメントの関係は
$\;J_O = I_x + I_y$\ です。

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5. 微小要素での描き方

直感的には、断面を微小幅 $dy$ の水平スライスとして扱い、

1. スライス幅：$dy$
2. スライスの長さ（断面に応じて）：$b(y)$
3. スライス面積：$dA = b(y)\,dy$
4. 中立軸からの距離：$y$

を代入して、

$$I_x = \int_{y_{\min}}^{y_{\max}} y^2\,\bigl[b(y)\,dy\bigr]$$

のように１次元積分に帰着できます。矩形断面では $b(y)=b$ 定数になるので

$$I_x = b\!\int_{-h/2}^{h/2} y^2\,dy = \frac{b\,h^3}{12}.$$

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6. 平行軸の定理

中立軸が断面重心からずれている場合は、

$$\boxed{I_{x’} = I_x + A\,d^2}$$

• $I_x$：重心軸まわりの 2 次モーメント
• $A$：断面積
• $d$：重心軸と新中立軸間の垂直距離

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まとめ

• 定義式：
  • $I_x=\displaystyle\int_A y^2\,dA$、$I_y=\int_A x^2\,dA$、$I_{xy}=\int_A xy\,dA$
  • 極モーメント $J=\int_A r^2\,dA$
• 座標選びと積分範囲がポイント
• 平行軸の定理で任意軸に対応

ご不明点や実際の断面形状への適用例（多角形, 円弧断面など）についてもお気軽にご相談ください！

定義式の積分はどのように解きますか？

定義式

$$I_x \;=\;\int_A y^2\,\mathrm{d}A$$

の積分手順は、断面形状に応じて「微小要素 $dA$ を表現」し、「座標で積分範囲を指定」することで解きます。以下、代表的な例を２つ挙げて説明します。

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例１：幅 $b$、高さ $h$ の矩形断面の場合

1. 座標設定
   • $x$ 軸は矩形の幅方向、$y$ 軸は高さ方向。
   • 中立軸を矩形の中心（$y=0$）にとります。
2. 微小要素の取り方
   • 横スライス：厚さ $dy$、長さは一定で $b$。
   • よって微小面積 $dA = b\,dy$。
3. 積分範囲
   • 上端 $y=+h/2$ から下端 $y=-h/2$ まで。
4. 定義式への代入

   $$I_x = \int_{y=-\tfrac{h}{2}}^{+\tfrac{h}{2}} y^2 \,(b\,dy) = b \int_{-h/2}^{h/2} y^2\,dy$$

5. 積分

   $$\int y^2\,dy = \frac{y^3}{3} \quad\Longrightarrow\quad I_x = b\left[\frac{y^3}{3}\right]_{-h/2}^{\,h/2} = b\Bigl(\frac{(h/2)^3 – (-h/2)^3}{3}\Bigr) = b\frac{2\,(h/2)^3}{3} = \frac{b\,h^3}{12}.$$

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例２：半径 $r$ の円断面の場合

1. 座標設定
   • 極座標 $(r,\theta)$ を使い、中心を原点にとります。
   • 中立軸は通過する任意の直線ですが、極モーメント $J$（ねじり用）は全周対称なので極座標で扱うと楽です。
2. 微小要素の取り方
   • リング状微小幅 $dr$、角度幅 $d\theta$。
   • $dA = r\,dr\,d\theta$。
   • 中立軸からの距離はそのまま $r$。
3. 積分範囲
   • $r$：0 から $R$
   • $\theta$：0 から $2\pi$
4. 極モーメント定義

   $$J = \int_A r^2\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{R} r^2\,(r\,dr\,d\theta) = \int_0^{2\pi}\!d\theta \int_0^{R} r^3\,dr$$

5. 積分

   $$\int_0^{2\pi}d\theta =2\pi, \quad \int_0^{R}r^3\,dr = \frac{R^4}{4},$$ $$\therefore \quad J = 2\pi\,\frac{R^4}{4} = \frac{\pi\,R^4}{2}.$$これが 極断面２次モーメント。
   一方曲げ用 $I_x$（ある直径軸まわり）なら
   $\;I_x = \tfrac{1}{2}J = \tfrac{\pi R^4}{4}$ です。

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一般的な手順まとめ

1. 中立軸を決める（曲げ軸・ねじり軸）
2. 座標系を選ぶ（直交／極座標など）
3. 微小面積要素 $dA$ を式で表す
4. 定義式に $y^2\,dA$（または $x^2\,dA$, $r^2\,dA$）を代入
5. 積分範囲を決める
6. 積分して閉形式の結果を得る

具体的な断面形状ごとに、④の $dA$ と⑤の範囲設定だけ変えればすべて同じ流れで解けます。
もし他の形（中空矩形、I形鋼、多角形など）での手順が必要でしたら、遠慮なくお知らせください！

 

定義式の積分の意味を言葉で表すと、距離の2乗×微小面積を全域で足し合わせるということですか？

 

そのとおりです。

断面２次モーメントの定義式

$$I_x = \int_A y^2\,dA$$

を言葉で言い換えると、

「断面を無数の小さな面積要素に分割し、それぞれの要素が中立軸からどれだけ離れているかの距離の２乗に、その微小面積を掛けたものを、断面全域にわたって足し合わせる」

という意味になります。

• $y^2$：中立軸からの距離を２乗したもの
• $dA$：その位置にあるごく小さな面積
• $\int_A$：断面全体をなめて「足し合わせる」操作

距離の２乗で重み付けすることで、中央から離れた部分ほど「曲げに対して効く」度合いが大きく評価される、という性質を定量化しているわけです。

 

微小要素の取り方は縦スライスでもできますか？

 

はい。微小要素の取り方は自由で、縦スライス（縦長の小矩形）を使っても同じ結果が得られます。ただし、その場合は積分の順序や被積分関数（距離の２乗）が変わる点に注意してください。

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1. 矩形断面での例

幅 $b$、高さ $h$ の矩形断面を考えます。中立軸を横方向（$x$ 軸）にとったときの $I_x$ は

$$I_x = \int_A y^2\,dA$$

ですが、縦スライスを使うと次のように書き直せます。

1. 縦スライスの取り方
   幅方向に細いスライスを切り出し、

   $$dA = h\,dx$$と表せます（$h$ はスライスの高さ、矩形なので一定）。

2. スライスごとの「モーメント」
   ただし $I_x$ は各スライス内の微小面積要素すべてに対して $y^2$ を掛け合わせる必要があるため、
   スライス１枚あたりの寄与は

   $$\int_{y=-\tfrac{h}{2}}^{+\tfrac{h}{2}} y^2 \,dy \;=\;\frac{h^3}{12}$$となり、これにスライス幅 $dx$ を掛けます。

3. 全幅にわたって積分

   $$I_x = \int_{x=-\tfrac{b}{2}}^{+\tfrac{b}{2}} \Bigl[\int_{-h/2}^{h/2}y^2\,dy\Bigr]\;dx = \int_{-b/2}^{b/2}\frac{h^3}{12}\,dx = \frac{h^3}{12}\,b$$

これで先ほどと同じ $\displaystyle I_x=\tfrac{b\,h^3}{12}$ が得られます。

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2. まとめると…

• 横スライス：
  $\,dA=b\,dy$ を使って
  $\;I_x = b\int_{-h/2}^{h/2} y^2\,dy$
• 縦スライス：
  $\,dA=h\,dx$ のスライスごとに「スライス内の $y^2$ 積分」を先にやり、
  $\;I_x = \int_{-b/2}^{b/2}\bigl[\int_{-h/2}^{h/2}y^2\,dy\bigr]dx$

どちらの取り方でも面積を覆い尽くし、距離の２乗×面積を全域で足し合わせることに変わりはありません。
積分の順序（$\int dx\int dy$⇔$\int dy\int dx$）を入れ替えただけ、というイメージです。