令和2年度技術士第一次試験問題［機械部門］　専門科目Ⅲ-24　容器全体のエントロピーの変化量

はい。解きます。

問題の要点

• 断熱された全体の系（ドアを開けて熱交換が起きた後閉じる）で、高温側（1000 K）から低温側（400 K）へ 10 kJ の熱が移動した。
• 各物体の温度は熱容量が十分大きいため変化しない（定温過程とみなせる）。
• 全系のエントロピー変化を求めよ。

解法

熱が高温側から低温側へ移るときのエントロピー変化は： $$\Delta S = \frac{Q_{\text{cold}}}{T_{\text{cold}}} + \frac{Q_{\text{hot}}}{T_{\text{hot}}}$$   ここで $Q=10{,}000\ \mathrm{J}$ が高温→低温に移動した量なので、

• 低温側（400K）に入る熱： $Q_{\text{cold}} = +10{,}000\ \mathrm{J}$ 
• 高温側（1000K）から出る熱： $Q_{\text{hot}} = -10{,}000\ \mathrm{J}$ 

よって： $$\Delta S = \frac{10{,}000}{400} + \frac{-10{,}000}{1000} = 25 - 10 = 15\ \mathrm{J/K}$$  

答え

④ 15 J/K   参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-24解答例 | 技術士のたまご

エントロピーとは何ですか？

もちろんです。エントロピーの概念を直感的・定量的に分けて説明します。

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1. 直感的なイメージ

エントロピーは「系の取りうる状態の数の多さ」や「広がりや乱雑さの度合い」を測る量です。たとえば：

• 熱が高温から低温に自然に流れるのは、エントロピー全体が増える方向だから（自然な進行方向＝時間の矢）。
• 粒子が一か所に集まっているよりも、ばらけている方が取りうる内部状態が多く、エントロピーが大きい。
• 「秩序」→「無秩序」に見える変化は、マクロでエントロピーが増える現象と関係がありますが、「単なる乱雑さ」だけではなく、取り得る微視的状態の数の増加が根底にあります。

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2. 熱力学的定義（マクロな系での定義）

可逆（理想的な）過程で系に与えられた微小な熱 $\delta Q_{\text{rev}}$ を温度 $T$ で割ったものを積分したものがエントロピーの変化： $$\Delta S = \int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}$$   例：温度 $300\,\mathrm{K}$ の系に可逆的に $100\,\mathrm{J}$ の熱を入れると、 $$\Delta S = \frac{100}{300} = 0.333\ \mathrm{J/K}$$   単位はジュール毎ケルビン（J/K）。 孤立系では、エントロピーは減らない（増大するか一定）。これが熱力学第二法則の一部です。

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3. 統計力学的な定義（微視的な解釈）

系が取り得る微視的状態の数を $\Omega$ とすると、エントロピーは： $$S = k_B \ln \Omega$$   ここで $k_B$ はボルツマン定数（ $\approx 1.38 \times 10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ ）。 状態の数が増える（可能性が広がる）と $\Omega$ が増え、結果として $S$ も大きくなる。

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4. 情報理論との類似（シャノンエントロピー）

確率分布 $\{p_i\}$ を持つ選択肢の不確実性（情報の平均量）はシャノンエントロピーで： $$H = -\sum_i p_i \log_2 p_i \quad \text{（単位：ビット）}$$   物理のエントロピーと形式的に似ていて、確率的に「どれだけの情報（不確実性）」があるかを測る。 熱力学的エントロピーは確率分布（微視的状態の重み）を自然対数で扱った形に対応します。

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5. よくある誤解の整理

• エントロピー = 単なる「乱雑」ではなく、「可能な内部状態の数の対数的な広がり」。
• エントロピーが増える方向が「自然な時間の進み方」だが、局所的に減ること（冷却や秩序化）は外部とのやり取り（全体ではエントロピー増大）によって可能。
• 熱が高温から低温へ流れるのは、全体のエントロピーが増えるから起きる（自発的な過程）。

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まとめ

• 定義（可逆熱）： $\Delta S = \int \delta Q_{\text{rev}} / T$ 
• 統計解釈： $S = k_B \ln \Omega$  （状態数の対数）
• 性質：孤立系でエントロピーは増えるか一定（第二法則）。
• 単位：ジュール毎ケルビン（J/K）。

必要なら、具体例（気体の膨張、混合、熱エンジン効率との関係など）や問題演習も出せます。どちらがよいですか？