解答 伝達関数 $$G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+s+1},\qquad K(s)=k_1 s+k_0$$   閉ループ特性方程式は $$1+K(s)G(s)=0$$   より $$1+\frac{(k_1 s+k_0)(2s+1)}{s^{2}+s+1}=0 \;\Longrightarrow\; (s^{2}+s+1)+(k_1 s+k_0)(2s+1)=0$$   展開すると $$(1+2k_1)s^{2} + (1+k_1+2k_0)s + (1+k_0)=0$$   希望する極は $-\tfrac{2}{3}, -1$ なので目標特性多項式は $$(s+1)\left(s+\frac{2}{3}\right)=s^{2}+\frac{5}{3}s+\frac{2}{3}$$   係数は全体の定数倍まで同一であれば同じ根を持つので， $$\frac{1+k_1+2k_0}{1+2k_1} = \frac{5}{3},\qquad \frac{1+k_0}{1+2k_1} = \frac{2}{3}$$   (2)式から $$3(1+k_0)=2(1+2k_1)\;\Rightarrow\; k_0=\frac{-1+4k_1}{3}$$   (1)式から $$3(1+k_1+2k_0)=5(1+2k_1)\;\Rightarrow\; k_0=\frac{2+7k_1}{6}$$   両式を等置して $$\frac{-1+4k_1}{3}=\frac{2+7k_1}{6}\;\Rightarrow\; k_1=4$$ $$k_0=\frac{-1+16}{3}=5$$   したがって $$k_0=5,\; k_1=4$$   正解：②   参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-11解答例 | 技術士のたまご フィードバック | 副業の宮殿【PR】

問題はどういう意味ですか？

問題文の意味・意図をかみ砕いて説明します。

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1. 状況（ブロック線図）

図のフィードバック制御系は「単純な 1 つのループ（単一フィードバック）」です。

• 制御対象（プラント） : 伝達関数 $$G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+s+1}$$ 
• 制御装置（コントローラ） : 未知の 1 次（比例 + 微分的形） $$K(s)=k_1 s + k_0$$ 
• 入力 $X(s)$  と出力 $Y(s)$  があり，出力がマイナスで戻ってきて誤差信号を作る「単位負帰還」構成です。

2. 何をしろと言っているか（設計課題）

このループを閉じたとき（フィードバックをかけたとき）の 閉ループ系の極（= 特性方程式の根） を，指定された 2 つの値 $$s = -\frac{2}{3},\quad s = -1$$   に 来るように コントローラ係数 $k_0, k_1$ を選びなさい，という「極配置 (pole placement)」問題です。

3. なぜ極を指定するのか

閉ループ極は，時間応答（減衰速度・振動性など）と安定性を決める基本要素です。

• 両方とも負の実数なので，安定（時間とともに応答が収束する）になります。
• どの位置に置くかを設計者が決めることで，応答速度やオーバーシュートなどを調整できます。 ここでは既に目標極が与えられているので，あなたはその極を実現する $k_0, k_1$  を求めるだけです。

4. 特性方程式とは

単位負帰還では閉ループ伝達関数の分母（特性方程式）は $$1 + K(s)G(s) = 0$$   で与えられる多項式です。これを展開すると $k_0, k_1$ を含む 2 次多項式が得られます。その根が閉ループ極です。

5. 実際に何を計算するか

1. $1 + K(s)G(s)=0$  を展開して係数を $k_0, k_1$  で表す。
2. 目標極 $-2/3$  と $-1$  をもつ 2 次多項式 $(s+1)(s+2/3)=s^2+(5/3)s+2/3$  を用意。
3. 「自分が得た多項式の係数」と「目標多項式の係数」を（スカラー倍の可能性も考慮して）一致させて連立方程式をつくり， $k_0, k_1$  を解く。
4. 選択肢の中から一致する組を選ぶ。

6. 選択肢

問題は計算で出た組と一致するものを ①〜⑤ の中から選べ，と言っています。 （前の回答で示した通り，結果は $k_0=5, k_1=4$ で ②。）

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まとめ（問題の意味を一言で）

「与えられたプラント $G(s)$ に対し，1 次のコントローラ $K(s)=k_1 s+k_0$ の係数を選んで，閉ループ極を指定位置 $-2/3$ と $-1$ に配置せよ。その候補として挙がっている 5 組の中から正しいものを選びなさい。」 これが問題の意味です。 さらに不明な言葉（極、特性方程式、極配置など）があれば続けて聞いてください。  

問題文で与えられている特性方程式はどういう意味ですか？

「特性方程式 $1+K(s)G(s)=0$ 」が何を意味し、どう出てくるかを段階的に説明します。

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1. どこから出てくる式か（単位負帰還系）

ブロック線図は 単位負帰還： $$\text{誤差信号 } E(s)=X(s)-Y(s)$$ $$\text{操作量 } U(s)=K(s)E(s)$$ $$\text{出力 } Y(s)=G(s)U(s)=G(s)K(s)\,E(s)$$   よって $$Y(s)=G(s)K(s)\bigl(X(s)-Y(s)\bigr) \;\Rightarrow\; Y(s)+G(s)K(s)Y(s)=G(s)K(s)X(s)$$   整理すると $$Y(s)\,(1+K(s)G(s)) = K(s)G(s)\,X(s)$$   従って 閉ループ伝達関数（入力 $X$ から出力 $Y$ ） $$\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}$$   この分母 $1+K(s)G(s)$ が系の 特性多項式（characteristic polynomial） を与え、その「=0」とおいた方程式 $$1+K(s)G(s)=0$$   が 特性方程式（characteristic equation） です。

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2. 何を表しているか（極＝固有値）

閉ループ伝達関数の 極 (poles) は分母を 0 にする $s$ の値です。 極は時間応答 $\exp(st)$ の指数部分に対応し、

• 実部 < 0 なら減衰
• 実部 > 0 なら発散
• 実部 = 0 なら持続振動（純虚数）

したがって 「1+K(s)G(s)=0 の解」＝「閉ループ系の極」＝「閉ループ系の安定性と応答速度を決める値」 です。

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3. なぜ「特性」と呼ぶか

線形時不変 (LTI) 系の内部ダイナミクスは、状態方程式で書けば $$\dot{x}=A_{cl}x + B_{cl}r$$   の 行列 $A_{cl}$ の固有値が時間挙動を決めます。 伝達関数表現ではその固有値集合が分母多項式の根になります。 行列での特性方程式 $\det(sI-A_{cl})=0$ が、ブロック線図を介してまとめると $1+K(s)G(s)=0$ の形に等価になるため、こちらも「特性方程式」と呼びます。

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4. ここでの具体的な形

与えられた $$G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+s+1},\qquad K(s)=k_1 s + k_0$$   を代入すると $$1 + (k_1 s + k_0)\frac{2s+1}{s^{2}+s+1}=0 \;\Longrightarrow\; (s^{2}+s+1) + (k_1 s + k_0)(2s+1)=0$$ $$\Longrightarrow\; (1+2k_1)s^{2} + (1+k_1+2k_0)s + (1+k_0)=0$$   この 2 次多項式が閉ループ特性多項式。これを望む形（目標極の多項式）に一致させるのが極配置設計です。

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5. まとめ（意味を一言で）

「特性方程式 $1+K(s)G(s)=0$ とは、閉ループ制御系の極（= 安定性と応答を決める固有値）を与える方程式で、その解がどこに来るかを調整するためにコントローラ $K(s)$ のパラメータを選ぶ基礎となる式」 です。 さらに深掘り（状態空間との対応、根軌跡、ナイキストなど）も必要なら続けて聞いてください。

分母が極で０になるように設計すると、その極では数値が安定するのですか？

  良い質問です。少し混乱しやすいところなので、丁寧に整理します。

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1. 「分母＝0 になる点」＝極 (pole)

閉ループ伝達関数 $$T(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}$$   の 分母が 0 になる $s$ が「極」です。解析的にはそこでは $T(s)$ が 無限大（発散） になります。 つまり 「分母を 0 に“して”安定にする」 のではなく、分母が 0 になる点（極）の複素平面上での位置によって時間応答の安定 / 不安定が決まる ということです。

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2. 極と時間応答の関係

時間領域のインパルス応答は極に対応した項の和になります： $$y(t) \sim \sum_i C_i e^{s_i t}$$   ここで $s_i$ が極。

• $\operatorname{Re}(s_i) < 0$  なら $e^{s_i t}$  は $t\to\infty$  で 0 に収束（安定）。
• $\operatorname{Re}(s_i) = 0$  なら振幅一定（臨界・保守的）。
• $\operatorname{Re}(s_i) > 0$  なら指数的に発散（不安定）。

安定とは「極が左半平面にあること」（連続時間の場合）であって、「分母=0 の値で“数値が安定する”」わけではありません。

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3. “分母が 0” の直感的意味

ラプラス変換の逆変換を行うとき、分母多項式の根（極）から部分分数分解で $$\frac{A}{s - (-a)} \;\Longrightarrow\; A e^{-a t}$$   の形が出てきます。 したがって 極の位置を設計する＝出てくる指数項の減衰速度や振動周波数を設計する ことです。

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4. なぜ「分母=0 に“なるように”選ぶ」のか

設計では「望ましい応答」を仮定し、その応答に対応する極（例えば決まった減衰速度）を決めます。 → その極をもつように 分母多項式の係数（= コントローラパラメータ）を調整 します。 こうして得られた閉ループ分母が、指定した根（極）を持つ＝「極を配置した」という意味です。

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5. もし極を右半平面に置いたら

分母のある根が $+0.2$ など正の実部を持つと、応答に $e^{0.2 t}$ が含まれて発散し、出力は無限大に向かう（理想数学上）ので 不安定。 だから「極がどこにあるか」が決定的なのです。

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6. よくある誤解のまとめ

誤解	実際
分母=0 で『安定点』になる	その点は伝達関数が無限大。時間応答のモード（指数項）を決める“パラメータ”であり、安定点ではない
分母を 0 に設定する操作が安定化	分母（特性多項式）の根の位置を左半平面へ移すよう係数を選ぶのが安定化
極は計算だけの抽象概念	極 = 実際の過渡応答の減衰速度／振動数を表現する指数項の指数

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7. さらに一歩：ゼロ (zero) との違い

伝達関数の 零点 (zero) は分子が 0 になる点。零点は応答の特定周波数成分を打ち消したり、位相特性を変えたりするが、安定性（発散/収束）を直接決めるのは極。 （零点が右半平面にあると非最小位相で内部的な制約が増える、などは発展話題。）

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8. 一言でまとめ

「分母が 0 になる“極”の位置が、系の安定性と過渡応答を決める。極そのものは“安定点”ではなく、そこに対応する指数モードが時間応答に現れる。だから設計では極を左半平面に配置して減衰させる。」

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もっと例や数値シミュレーションで確認したい場合は言ってください。Python で簡単な応答比較もできます。どうしますか？  

分母が極で０になるように設計するのは何を狙っているのですか？

「分母が極で 0 になるように“設計する”」＝閉ループ分母（特性多項式）の根＝極を目標位置に“置く”こと（極配置） であり、狙いは 閉ループ応答の性質を思い通りに整える ことです。具体的には下記の性能指標・性質を同時に（トレードオフを意識しながら）狙っています。

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1. 安定化

• 極（= 分母多項式の根）が右半平面にあると発散。左半平面に入れれば指数減衰して安定。
• まず最優先：不安定な開ループ極を左に押し込む（安定化）。

2. 応答速度（速さ）

• 極の実部がより負（例： -5 ）→ $e^{-5t}$  で速く収束。
• 目標とする立上り時間 / 整定時間から “必要な実部” を逆算し、その位置に極を置く。

3. 減衰特性・オーバーシュート

• 共役複素極 $-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$  の 減衰比 $\zeta$  と 固有角周波数 $\omega_n$  がオーバーシュート、振動回数、減衰速度を決定。
• 指定の過渡仕様（例：オーバーシュート < 10%, 2%整定時間 < 2 s）を極位置に変換し、配置。

4. 定常偏差（間接的効果）

• 定常偏差そのものはタイプ数（原点極の数）で決まるが、極配置でレスポンス形状を決めながら、必要なら積分器を追加して原点極を導入するなど 必要な型 (system type) を確保。

5. 外乱・雑音に対する感度

• 分母（= 特性多項式）は感度関数 $S(s)=1/(1+K(s)G(s))$  の形を左右する。
• 低周波で極を十分左へ移す（ゲインを稼ぐ）→ 外乱抑制改善。
• 逆に極をあまり左へ移し過ぎると高周波ゲイン増 → センサ雑音や未モデルダイナミクスを増幅（= ロバスト性低下）。

6. 制御入力（操作量）負担とのトレードオフ

• 速さを求め極を左に寄せると、一般に必要ゲインが増加し操作量が大きくなる → 飽和 / エネルギー / アクチュエータ摩耗のリスク。
• 所望の性能 vs. 現実的な制御エネルギー のバランスを極の位置で調整。

7. ロバスト性（不確かさへの余裕）

• 極が安定境界（虚軸）から十分距離をとると、モデル誤差やパラメータ変動に対する余裕（安定余裕）が増える。
• ただし非常に左に置く＝高帯域化は未モデル高次モードや遅れの影響を拾いロバスト性を逆に損ねることがある。

8. 周波数領域仕様との対応

• 極位置はボード線図の折れ点、位相遅れ、ゲイン交差周波数に影響。
• 「帯域をどこまで拡げるか」「位相余裕・ゲイン余裕をどれくらい確保するか」を意識し極（と必要なら零点）を配置。

9. モードの形状（状態空間解釈）

• 分母は閉ループ行列 $A_{cl}$  の固有多項式。
• 極配置は 可制御なモードの固有値を再設計し、不要な遅い / 不安定モードを消す・速くする 行為。

10. 実装次元の制約・可制御性

• 望む極をすべて自由に置けるのは「プラントがその極に関する可制御性 (controllability) を満たす」場合のみ。
• コントローラ次数が足りなければ指定全ては達成できない（そこで補助としてオブザーバ、状態フィードバック、積分器追加などを検討）。

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まとめ（狙いを一文で）

閉ループ分母（特性多項式）の根＝極を意図した位置に“持たせる”ことで、安定性・速応性・減衰・外乱/雑音感度・操作量・ロバスト性のバランスを設計することが狙い です。

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さらに直感的なたとえ

• 系の各極は “バネで引っ張られた質量” の減衰付き振動モードに相当。
• 極を左に動かす＝減衰を強めて速く落ち着くようバネ/ダンパを調整する。
• しかし強くし過ぎると摩擦熱（操作量）や機械的限界（アクチュエータ飽和）が問題になる。

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補足してほしい観点は？

もし「数式から時間仕様算出の具体例」「オーバーシュート 10% なら極はどこ？」など、もう一歩具体的な換算例が欲しければ指示ください。 どう続けますか？「例を見たい」「他の設計法との違い」「零点の役割」など、知りたい方向を教えてください。    

オーバーシュート 10% なら極はどこ？

以下，「標準 2 次系」を前提に 最大オーバーシュート $M_p$ が 10%（=0.10） になる極位置の求め方と結果を整理します。 （※ 与えられた系が近似的に 2 次優勢（他極は十分左）であることが前提。）

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1. 標準 2 次系と極

標準形： $$G_{cl}(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}$$   極： $$s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}$$  

2. オーバーシュートと減衰比の関係

ステップ応答の最大オーバーシュート（%表示）： $$M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}$$   （%で 10% なら $M_p=0.10$ ） これを 0.10 に等置して $\zeta$ を解く： $$e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}} = 0.10 \;\Longrightarrow\; -\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} = \ln(0.10) \approx -2.302585$$ $$\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=2.302585 \;\Longrightarrow\; \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{2.302585}{\pi}\approx 0.732$$   両辺 2 乗： $$\frac{\zeta^{2}}{1-\zeta^{2}}=0.732^{2}\approx 0.536 \;\Longrightarrow\; \zeta^{2}=0.536(1-\zeta^{2}) \Rightarrow \zeta^{2}(1+0.536)=0.536$$ $$\zeta^{2}=\frac{0.536}{1.536}\approx 0.349 \;\Longrightarrow\; \zeta \approx 0.59$$   結論：オーバーシュート 10% に対応する減衰比は $\zeta \approx 0.59$ . （よく使う目安： $M_p=5\%\Rightarrow \zeta\approx 0.69$ , $M_p=10\%\Rightarrow \zeta\approx 0.59$ , $M_p=20\%\Rightarrow \zeta\approx 0.46$ ）

3. 極の幾何学的比率

$$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -0.59\,\omega_n \pm j\,0.807\,\omega_n$$   （ $\sqrt{1-0.59^2}\approx 0.807$ ） したがって 実部 : 虚部 = 0.59 : 0.807 ≈ 1 : 1.37。 あるいは虚部/実部比（減衰比の幾何学的表現）： $$Q = \frac{\omega_d}{-\Re(s)} = \frac{0.807}{0.59} \approx 1.37$$   （※ 電気で言う Q ≈ $1/(2\zeta)$ = 0.85 とは定義が違うことに注意）

4. 具体的な極座標表現

自然角周波数 $\omega_n$ をまだ決めていないので，オーバーシュート 10% という情報だけでは “方向” しか決まりません。 極は原点からの距離 $\omega_n$ でスケールします。極の角度 $\theta$ は： $$\cos\theta = \zeta = 0.59 \;\Rightarrow\; \theta \approx 54^\circ$$   （虚軸との角度で言えば $90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$ ）

極は負実軸から約 54° の方向線上（あるいは虚軸から 36°）に並び，原点からの距離（= $\omega_n$）を未確定に残した集合： $s = -0.59\,\omega_n \pm j\,0.807\,\omega_n$ 

5. $\omega_n$

 

を決めるには追加仕様が必要

例えば 2% 整定時間 $T_s$ （2% 基準）を指定すると $$T_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} \Rightarrow \omega_n \approx \frac{4}{\zeta T_s}$$   例：整定時間 2 s を目標なら $\omega_n = \frac{4}{0.59 \times 2} \approx 3.39$ → 極は $$s = -0.59\cdot 3.39 \pm j\,0.807\cdot 3.39 = -2.00 \pm j\,2.74$$  

6. まとめ

指定	得られる量
$M_p=10\%$	$\zeta\approx 0.59$
極の方向	負実軸から約 $54^\circ$
極の比率	$s=-0.59\omega_n \pm j\,0.807\omega_n$
追加で $T_s$等を与える	$\omega_n$と具体的な極座標値が確定

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さらに知りたい？

• 別の $M_p$  のときの早見表
• 実際のステップ応答波形比較（数値例）
• 非 2 次系（高次系）での扱い

などあれば続けてどうぞ。どれを見たいですか？