解答

伝達関数

$$G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+s+1},\qquad K(s)=k_1 s+k_0$$

 

閉ループ特性方程式は

$$1+K(s)G(s)=0$$

 

より

$$1+\frac{(k_1 s+k_0)(2s+1)}{s^{2}+s+1}=0 \;\Longrightarrow\; (s^{2}+s+1)+(k_1 s+k_0)(2s+1)=0$$

 

展開すると

$$(1+2k_1)s^{2} + (1+k_1+2k_0)s + (1+k_0)=0$$

 

希望する極は

$-\tfrac{2}{3}, -1$

なので目標特性多項式は

$$(s+1)\left(s+\frac{2}{3}\right)=s^{2}+\frac{5}{3}s+\frac{2}{3}$$

 

係数は全体の定数倍まで同一であれば同じ根を持つので，

$$\frac{1+k_1+2k_0}{1+2k_1} = \frac{5}{3},\qquad \frac{1+k_0}{1+2k_1} = \frac{2}{3}$$

 

(2)式から

$$3(1+k_0)=2(1+2k_1)\;\Rightarrow\; k_0=\frac{-1+4k_1}{3}$$

 

(1)式から

$$3(1+k_1+2k_0)=5(1+2k_1)\;\Rightarrow\; k_0=\frac{2+7k_1}{6}$$

 

両式を等置して

$$\frac{-1+4k_1}{3}=\frac{2+7k_1}{6}\;\Rightarrow\; k_1=4$$

$$k_0=\frac{-1+16}{3}=5$$

 

したがって

$$k_0=5,\; k_1=4$$

 

正解：②

 

参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-11解答例 | 技術士のたまご

フィードバック | 副業の宮殿【PR】

問題はどういう意味ですか？

問題文の意味・意図をかみ砕いて説明します。

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1. 状況（ブロック線図）

図のフィードバック制御系は「単純な 1 つのループ（単一フィードバック）」です。

• 制御対象（プラント） : 伝達関数

  $$G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+s+1}$$ 

• 制御装置（コントローラ） : 未知の 1 次（比例 + 微分的形）

  $$K(s)=k_1 s + k_0$$ 

• 入力
  $X(s)$ 

  と出力 $Y(s)$ 

  があり，出力がマイナスで戻ってきて誤差信号を作る「単位負帰還」構成です。

2. 何をしろと言っているか（設計課題）

このループを閉じたとき（フィードバックをかけたとき）の 閉ループ系の極（= 特性方程式の根） を，指定された 2 つの値

$$s = -\frac{2}{3},\quad s = -1$$

 

に 来るように コントローラ係数

$k_0, k_1$

を選びなさい，という「極配置 (pole placement)」問題です。

3. なぜ極を指定するのか

閉ループ極は，時間応答（減衰速度・振動性など）と安定性を決める基本要素です。

• 両方とも負の実数なので，安定（時間とともに応答が収束する）になります。
• どの位置に置くかを設計者が決めることで，応答速度やオーバーシュートなどを調整できます。
  ここでは既に目標極が与えられているので，あなたはその極を実現する $k_0, k_1$ 

  を求めるだけです。

4. 特性方程式とは

単位負帰還では閉ループ伝達関数の分母（特性方程式）は

$$1 + K(s)G(s) = 0$$

 

で与えられる多項式です。これを展開すると

$k_0, k_1$

を含む 2 次多項式が得られます。その根が閉ループ極です。

5. 実際に何を計算するか

1. 
   $1 + K(s)G(s)=0$ 

   を展開して係数を $k_0, k_1$ 

   で表す。

2. 目標極
   $-2/3$ 

   と $-1$ 

   をもつ 2 次多項式 $(s+1)(s+2/3)=s^2+(5/3)s+2/3$ 

   を用意。

3. 「自分が得た多項式の係数」と「目標多項式の係数」を（スカラー倍の可能性も考慮して）一致させて連立方程式をつくり，
   $k_0, k_1$ 

   を解く。

4. 選択肢の中から一致する組を選ぶ。

6. 選択肢

問題は計算で出た組と一致するものを ①〜⑤ の中から選べ，と言っています。
（前の回答で示した通り，結果は

$k_0=5, k_1=4$

で ②。）

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まとめ（問題の意味を一言で）

「与えられたプラント

$G(s)$

に対し，1 次のコントローラ

$K(s)=k_1 s+k_0$

の係数を選んで，閉ループ極を指定位置

$-2/3$

と

$-1$

に配置せよ。その候補として挙がっている 5 組の中から正しいものを選びなさい。」
これが問題の意味です。

さらに不明な言葉（極、特性方程式、極配置など）があれば続けて聞いてください。

 

問題文で与えられている特性方程式はどういう意味ですか？

「特性方程式

$1+K(s)G(s)=0$

」が何を意味し、どう出てくるかを段階的に説明します。

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1. どこから出てくる式か（単位負帰還系）

ブロック線図は 単位負帰還：

$$\text{誤差信号 } E(s)=X(s)-Y(s)$$

$$\text{操作量 } U(s)=K(s)E(s)$$

$$\text{出力 } Y(s)=G(s)U(s)=G(s)K(s)\,E(s)$$

 

よって

$$Y(s)=G(s)K(s)\bigl(X(s)-Y(s)\bigr) \;\Rightarrow\; Y(s)+G(s)K(s)Y(s)=G(s)K(s)X(s)$$

 

整理すると

$$Y(s)\,(1+K(s)G(s)) = K(s)G(s)\,X(s)$$

 

従って 閉ループ伝達関数（入力

$X$

から出力

$Y$

）

$$\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}$$

 

この分母

$1+K(s)G(s)$

が系の 特性多項式（characteristic polynomial） を与え、その「=0」とおいた方程式

$$1+K(s)G(s)=0$$

 

が 特性方程式（characteristic equation） です。

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2. 何を表しているか（極＝固有値）

閉ループ伝達関数の 極 (poles) は分母を 0 にする

$s$

の値です。
極は時間応答

$\exp(st)$

の指数部分に対応し、

• 実部 < 0 なら減衰
• 実部 > 0 なら発散
• 実部 = 0 なら持続振動（純虚数）

したがって 「1+K(s)G(s)=0 の解」＝「閉ループ系の極」＝「閉ループ系の安定性と応答速度を決める値」 です。

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3. なぜ「特性」と呼ぶか

線形時不変 (LTI) 系の内部ダイナミクスは、状態方程式で書けば

$$\dot{x}=A_{cl}x + B_{cl}r$$

 

の 行列

$A_{cl}$

の固有値が時間挙動を決めます。
伝達関数表現ではその固有値集合が分母多項式の根になります。
行列での特性方程式

$\det(sI-A_{cl})=0$

が、ブロック線図を介してまとめると

$1+K(s)G(s)=0$

の形に等価になるため、こちらも「特性方程式」と呼びます。

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4. ここでの具体的な形

与えられた

$$G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+s+1},\qquad K(s)=k_1 s + k_0$$

 

を代入すると

$$1 + (k_1 s + k_0)\frac{2s+1}{s^{2}+s+1}=0 \;\Longrightarrow\; (s^{2}+s+1) + (k_1 s + k_0)(2s+1)=0$$

$$\Longrightarrow\; (1+2k_1)s^{2} + (1+k_1+2k_0)s + (1+k_0)=0$$

 

この 2 次多項式が閉ループ特性多項式。これを望む形（目標極の多項式）に一致させるのが極配置設計です。

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5. まとめ（意味を一言で）

「特性方程式

$1+K(s)G(s)=0$

とは、閉ループ制御系の極（= 安定性と応答を決める固有値）を与える方程式で、その解がどこに来るかを調整するためにコントローラ

$K(s)$

のパラメータを選ぶ基礎となる式」 です。

さらに深掘り（状態空間との対応、根軌跡、ナイキストなど）も必要なら続けて聞いてください。

分母が極で０になるように設計すると、その極では数値が安定するのですか？

 

良い質問です。少し混乱しやすいところなので、丁寧に整理します。

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1. 「分母＝0 になる点」＝極 (pole)

閉ループ伝達関数

$$T(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}$$

 

の 分母が 0 になる

$s$

が「極」です。解析的にはそこでは

$T(s)$

が 無限大（発散） になります。
つまり 「分母を 0 に“して”安定にする」 のではなく、分母が 0 になる点（極）の複素平面上での位置によって時間応答の安定 / 不安定が決まる ということです。

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2. 極と時間応答の関係

時間領域のインパルス応答は極に対応した項の和になります：

$$y(t) \sim \sum_i C_i e^{s_i t}$$

 

ここで

$s_i$

が極。

• 
  $\operatorname{Re}(s_i) < 0$ 

  なら $e^{s_i t}$ 

  は $t\to\infty$ 

  で 0 に収束（安定）。

• 
  $\operatorname{Re}(s_i) = 0$ 

  なら振幅一定（臨界・保守的）。

• 
  $\operatorname{Re}(s_i) > 0$ 

  なら指数的に発散（不安定）。

安定とは「極が左半平面にあること」（連続時間の場合）であって、「分母=0 の値で“数値が安定する”」わけではありません。

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3. “分母が 0” の直感的意味

ラプラス変換の逆変換を行うとき、分母多項式の根（極）から部分分数分解で

$$\frac{A}{s – (-a)} \;\Longrightarrow\; A e^{-a t}$$

 

の形が出てきます。
したがって 極の位置を設計する＝出てくる指数項の減衰速度や振動周波数を設計する ことです。

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4. なぜ「分母=0 に“なるように”選ぶ」のか

設計では「望ましい応答」を仮定し、その応答に対応する極（例えば決まった減衰速度）を決めます。
→ その極をもつように 分母多項式の係数（= コントローラパラメータ）を調整 します。
こうして得られた閉ループ分母が、指定した根（極）を持つ＝「極を配置した」という意味です。

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5. もし極を右半平面に置いたら

分母のある根が

$+0.2$

など正の実部を持つと、応答に

$e^{0.2 t}$

が含まれて発散し、出力は無限大に向かう（理想数学上）ので 不安定。
だから「極がどこにあるか」が決定的なのです。

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6. よくある誤解のまとめ

誤解	実際
分母=0 で『安定点』になる	その点は伝達関数が無限大。時間応答のモード（指数項）を決める“パラメータ”であり、安定点ではない
分母を 0 に設定する操作が安定化	分母（特性多項式）の根の位置を左半平面へ移すよう係数を選ぶのが安定化
極は計算だけの抽象概念	極 = 実際の過渡応答の減衰速度／振動数を表現する指数項の指数

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7. さらに一歩：ゼロ (zero) との違い

伝達関数の 零点 (zero) は分子が 0 になる点。零点は応答の特定周波数成分を打ち消したり、位相特性を変えたりするが、安定性（発散/収束）を直接決めるのは極。
（零点が右半平面にあると非最小位相で内部的な制約が増える、などは発展話題。）

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8. 一言でまとめ

「分母が 0 になる“極”の位置が、系の安定性と過渡応答を決める。極そのものは“安定点”ではなく、そこに対応する指数モードが時間応答に現れる。だから設計では極を左半平面に配置して減衰させる。」

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もっと例や数値シミュレーションで確認したい場合は言ってください。Python で簡単な応答比較もできます。どうしますか？

 

分母が極で０になるように設計するのは何を狙っているのですか？

「分母が極で 0 になるように“設計する”」＝閉ループ分母（特性多項式）の根＝極を目標位置に“置く”こと（極配置） であり、狙いは 閉ループ応答の性質を思い通りに整える ことです。具体的には下記の性能指標・性質を同時に（トレードオフを意識しながら）狙っています。

---

1. 安定化

• 極（= 分母多項式の根）が右半平面にあると発散。左半平面に入れれば指数減衰して安定。
• まず最優先：不安定な開ループ極を左に押し込む（安定化）。

2. 応答速度（速さ）

• 極の実部がより負（例： -5 ）→
  $e^{-5t}$ 

  で速く収束。

• 目標とする立上り時間 / 整定時間から “必要な実部” を逆算し、その位置に極を置く。

3. 減衰特性・オーバーシュート

• 共役複素極
  $-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 

  の 減衰比 $\zeta$ 

  と 固有角周波数 $\omega_n$ 

  がオーバーシュート、振動回数、減衰速度を決定。

• 指定の過渡仕様（例：オーバーシュート < 10%, 2%整定時間 < 2 s）を極位置に変換し、配置。

4. 定常偏差（間接的効果）

• 定常偏差そのものはタイプ数（原点極の数）で決まるが、極配置でレスポンス形状を決めながら、必要なら積分器を追加して原点極を導入するなど 必要な型 (system type) を確保。

5. 外乱・雑音に対する感度

• 分母（= 特性多項式）は感度関数
  $S(s)=1/(1+K(s)G(s))$ 

  の形を左右する。

• 低周波で極を十分左へ移す（ゲインを稼ぐ）→ 外乱抑制改善。
• 逆に極をあまり左へ移し過ぎると高周波ゲイン増 → センサ雑音や未モデルダイナミクスを増幅（= ロバスト性低下）。

6. 制御入力（操作量）負担とのトレードオフ

• 速さを求め極を左に寄せると、一般に必要ゲインが増加し操作量が大きくなる → 飽和 / エネルギー / アクチュエータ摩耗のリスク。
• 所望の性能 vs. 現実的な制御エネルギー のバランスを極の位置で調整。

7. ロバスト性（不確かさへの余裕）

• 極が安定境界（虚軸）から十分距離をとると、モデル誤差やパラメータ変動に対する余裕（安定余裕）が増える。
• ただし非常に左に置く＝高帯域化は未モデル高次モードや遅れの影響を拾いロバスト性を逆に損ねることがある。

8. 周波数領域仕様との対応

• 極位置はボード線図の折れ点、位相遅れ、ゲイン交差周波数に影響。
• 「帯域をどこまで拡げるか」「位相余裕・ゲイン余裕をどれくらい確保するか」を意識し極（と必要なら零点）を配置。

9. モードの形状（状態空間解釈）

• 分母は閉ループ行列
  $A_{cl}$ 

  の固有多項式。

• 極配置は 可制御なモードの固有値を再設計し、不要な遅い / 不安定モードを消す・速くする 行為。

10. 実装次元の制約・可制御性

• 望む極をすべて自由に置けるのは「プラントがその極に関する可制御性 (controllability) を満たす」場合のみ。
• コントローラ次数が足りなければ指定全ては達成できない（そこで補助としてオブザーバ、状態フィードバック、積分器追加などを検討）。

---

まとめ（狙いを一文で）

閉ループ分母（特性多項式）の根＝極を意図した位置に“持たせる”ことで、安定性・速応性・減衰・外乱/雑音感度・操作量・ロバスト性のバランスを設計することが狙い です。

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さらに直感的なたとえ

• 系の各極は “バネで引っ張られた質量” の減衰付き振動モードに相当。
• 極を左に動かす＝減衰を強めて速く落ち着くようバネ/ダンパを調整する。
• しかし強くし過ぎると摩擦熱（操作量）や機械的限界（アクチュエータ飽和）が問題になる。

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補足してほしい観点は？

もし「数式から時間仕様算出の具体例」「オーバーシュート 10% なら極はどこ？」など、もう一歩具体的な換算例が欲しければ指示ください。
どう続けますか？「例を見たい」「他の設計法との違い」「零点の役割」など、知りたい方向を教えてください。

 

 

オーバーシュート 10% なら極はどこ？

以下，「標準 2 次系」を前提に 最大オーバーシュート

$M_p$

が 10%（=0.10） になる極位置の求め方と結果を整理します。
（※ 与えられた系が近似的に 2 次優勢（他極は十分左）であることが前提。）

---

1. 標準 2 次系と極

標準形：

$$G_{cl}(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}$$

 

極：

$$s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}$$

 

2. オーバーシュートと減衰比の関係

ステップ応答の最大オーバーシュート（%表示）：

$$M_p = e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}$$

 

（%で 10% なら

$M_p=0.10$

）

これを 0.10 に等置して

$\zeta$

を解く：

$$e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}} = 0.10 \;\Longrightarrow\; -\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} = \ln(0.10) \approx -2.302585$$

$$\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=2.302585 \;\Longrightarrow\; \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{2.302585}{\pi}\approx 0.732$$

 

両辺 2 乗：

$$\frac{\zeta^{2}}{1-\zeta^{2}}=0.732^{2}\approx 0.536 \;\Longrightarrow\; \zeta^{2}=0.536(1-\zeta^{2}) \Rightarrow \zeta^{2}(1+0.536)=0.536$$

$$\zeta^{2}=\frac{0.536}{1.536}\approx 0.349 \;\Longrightarrow\; \zeta \approx 0.59$$

 

結論：オーバーシュート 10% に対応する減衰比は

$\zeta \approx 0.59$

.

（よく使う目安：

$M_p=5\%\Rightarrow \zeta\approx 0.69$

,

$M_p=10\%\Rightarrow \zeta\approx 0.59$

,

$M_p=20\%\Rightarrow \zeta\approx 0.46$

）

3. 極の幾何学的比率

$$s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -0.59\,\omega_n \pm j\,0.807\,\omega_n$$

 

（

$\sqrt{1-0.59^2}\approx 0.807$

）

したがって 実部 : 虚部 = 0.59 : 0.807 ≈ 1 : 1.37。
あるいは虚部/実部比（減衰比の幾何学的表現）：

$$Q = \frac{\omega_d}{-\Re(s)} = \frac{0.807}{0.59} \approx 1.37$$

 

（※ 電気で言う Q ≈

$1/(2\zeta)$

= 0.85 とは定義が違うことに注意）

4. 具体的な極座標表現

自然角周波数

$\omega_n$

をまだ決めていないので，オーバーシュート 10% という情報だけでは “方向” しか決まりません。
極は原点からの距離

$\omega_n$

でスケールします。極の角度

$\theta$

は：

$$\cos\theta = \zeta = 0.59 \;\Rightarrow\; \theta \approx 54^\circ$$

 

（虚軸との角度で言えば

$90^\circ – 54^\circ = 36^\circ$

）

極は負実軸から約 54° の方向線上（あるいは虚軸から 36°）に並び，原点からの距離（=

$\omega_n$）を未確定に残した集合：

$s = -0.59\,\omega_n \pm j\,0.807\,\omega_n$ 

5. $\omega_n$

 

を決めるには追加仕様が必要

例えば 2% 整定時間

$T_s$

（2% 基準）を指定すると

$$T_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} \Rightarrow \omega_n \approx \frac{4}{\zeta T_s}$$

 

例：整定時間 2 s を目標なら

$\omega_n = \frac{4}{0.59 \times 2} \approx 3.39$

→ 極は

$$s = -0.59\cdot 3.39 \pm j\,0.807\cdot 3.39 = -2.00 \pm j\,2.74$$

 

6. まとめ

指定	得られる量
$M_p=10\%$	$\zeta\approx 0.59$
極の方向	負実軸から約 $54^\circ$
極の比率	$s=-0.59\omega_n \pm j\,0.807\omega_n$
追加で $T_s$等を与える	$\omega_n$と具体的な極座標値が確定

---

さらに知りたい？

• 別の
  $M_p$ 

  のときの早見表

• 実際のステップ応答波形比較（数値例）
• 非 2 次系（高次系）での扱い

などあれば続けてどうぞ。どれを見たいですか？