柱の両端とも回転拘束（回転固定）されているので，オイラー座屈の有効長係数は $$K=0.5$$   よって $$P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(K\,l)^2}=\frac{\pi^2EI}{(0.5\,l)^2} =4\,\frac{\pi^2EI}{l^2}$$   となり，選択肢①が正解です。 参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-8解答例 | 技術士のたまご 08．座屈 | 合格ロケット

オイラー座屈の有効長係数について教えて下さい

  オイラー座屈の「有効長係数（有効座屈長係数）K」は、 柱がどのように支持されているか（端部条件）によって座屈のしやすさが変わることを、 「長さを見かけ上 もっと短く／長くしたものとして扱う」ための係数です。 まずは核心から説明し、あとで直感的イメージを添えます。

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🔵 1. オイラー座屈の基本式

オイラー座屈荷重は [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} ] で与えられます。

• (L)：柱の実長（支点間距離）
• (K)：有効長係数
• (KL)：座屈する時の実質的な座屈長さ

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🔵 2. 有効長係数 K の意味

• 柱の端部が「回転できる」か「移動できる」かで、座屈形状の曲率が変わり、 その結果「座屈に対する強さ」も変わる
• これを 長さが変わったものとして等価に表したものが K

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🔵 3. 各端部条件の K（重要表）

端部条件（支え方）	有効長係数 K	座屈形状の特徴
両端ピン（両端回転自由）	1.0	基本形（最もよく出る）
片側固定・片側ピン	0.7（正確には 0.699）	剛端が変形を拘束するので座屈しにくい
両端固定（両端回転拘束）	0.5	最も座屈しにくい
片側固定・片側自由（片持ち柱）	2.0	最も座屈しやすい（2倍長い棒と同等）

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🔵 4. 直感的な理解

■ K が小さいもの（0.5・0.7）

→ 座屈しにくい（強い） → 固定端があるので曲がる前に反力やモーメントが効く → 座屈形状が「緩やか」になるため、短い棒のように振る舞う

■ K が大きいもの（2.0）

→ 座屈しやすい（弱い） → 片持ちは先端が完全自由で「クネッ」と曲がる → 実際より長い柱（2L）のように扱う

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🔵 5. 座屈モードのイメージ図（文字で描写）

● K = 1（両端ピン）

o——( )——o
      ↑
    最大たわみ

● K = 0.5（両端固定）

|——(  )——|
両端が曲がらず強い形状

● K = 2（片端自由）

|——(      )  
固定端 → 先端自由で長く見える

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🔵 6. 設計でどう使うのか？

座屈耐力は [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2EI}{(KL)^2} ] なので、 K が小さいほど、分母が小さくなり Pcr が大きくなって強くなる。 例えば同じ長さ L でも：

• 両端固定： [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2EI}{(0.5L)^2} =4\frac{\pi^2EI}{L^2} ] → 両端ピンの 4 倍の座屈耐力
• 片端自由： [ P_{\mathrm{cr}} = \frac{\pi^2EI}{(2L)^2} =\frac{1}{4}\frac{\pi^2EI}{L^2} ] → 両端ピンの 1/4 の座屈耐力

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🔵 7. まとめ（覚えるべき値）

支持条件	K
両端ピン	1.0
片側固定・片側ピン	0.7
両端固定	0.5
片端自由（片持ち）	2.0

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必要であれば、

• なぜ 0.7 になるのかの導出（固有値問題）
• モーメント分布
• たわみ曲線の微分方程式解法
• 座屈モードの比較図

なども詳しく説明できます！

ピンは白抜きの丸で表現されますか？

  はい、そのとおりです。

✅ 材料力学・構造力学で「ピン支持」は白抜きの丸（○）で表現します。

一般的な図記号では以下のようになります：

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🔵 支点の図記号（代表的なもの）

■ ピン支持（ヒンジ支持）

• 白抜きの丸（○）
• 回転は自由、水平と鉛直の反力が発生（2自由度拘束）

    ○─── 部材

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■ 固定端（完全固定）

• 黒塗りの端部または壁で表す
• 回転も変位も拘束（3自由度拘束）

   |──── 部材
   |

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■ ローラー支持

• 白抜きの丸＋下に小さなローラー
• 回転自由、鉛直反力のみ（1自由度拘束）

   ○
  ／＼
──┘

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🔵 座屈の端部条件で使う記号

オイラー座屈の端条件でも同じ記号を使います：

• 両端ピン → ○────○
• 片端固定・片端ピン → |────○
• 両端固定 → |────|
• 片端固定・自由 → |────(自由端)

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🔚 結論

✔ ピン支持は「白抜きの丸」で表す

✔ 回転が自由で、水平・鉛直の反力が発生する支点

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必要であれば、

• 支点記号一覧
• 各支点の拘束自由度
• 座屈端条件の図つきまとめ
• 有効長係数 K との対応表 なども作れます！