この問題は**運動量欠損法（momentum deficit method）**を使って，2次元物体に働く抗力 per unit span を求める典型問題です。

■ 物理状況

  • 一様流 [U_\infty] が物体に当たる
  • 物体下流（CD）では速度が (u(y)) に変化
  • 図の長方形 ABCD をガウスのコントロールボリュームとする
  • 圧力は AB, CD で同じ（よって圧力抗力はなし）
  • 抗力は運動量欠損によって求める

■ 抗力の考え方

物体が流体に及ぼす抗力 = 流体が物体に及ぼす力（反作用）
抗力 = 流体の運動量の減少量
流体の運動量流束（1長さあたり）は [ \rho u^2(y) ] しかし，下流の運動量欠損を考えるための表現は [ \rho u(y)[U_\infty - u(y)] ] これが，流れ1本あたりの欠損分です。 物体がなければ下流は全部 (U_\infty)。 なので，欠損流束を (y=-h \sim h) で積分すると抗力： [ D' = \rho \int_{-h}^{h} u(y)\left(U_\infty - u(y) \right) dy ]

■ 選択肢の確認

選択肢を見比べると，これと一致するのは

✅ ①

[ \rho \int_{-h}^{h} u(y){U_\infty - u(y)} dy ]

✅正解：①

[解答]① 参考 曲管における運動量の法則の問題 技術士第一次試験－令和3年度機械部門Ⅲ-29解答例 | 技術士のたまご    

■ よくある間違いの修正

選択肢 内容 間違い理由
② [ \rho \int (U_\infty^2 - u^2)dy] 欠損を直接差分 渦なし条件で×, 同じ式に見えるが形式が異なる
③ [ \rho \int U_\infty u (U_\infty - u)dy] 余計な (U_\infty) 次元が違う
④ [ \frac{\rho}{2} \int U_\infty (U_\infty-u) dy] 係数・式が誤り 乱流境界層式の誤応用
⑤ [ \rho\int (U_\infty-u) dy] 慣性欠損でない 質量欠損

■ まとめ

抗力 = 下流の運動量欠損 [ D' = \rho \int_{-h}^{h} u(y)(U_\infty - u(y))dy ]  

抗力は運動量の欠損なのですか？抗力係数はどうですか？

良い質問です。 重要なポイントを整理します。

✅ 抗力 = 運動量の欠損 なのか？

はい、流れ場で抗力を求めるときは
物体が流体に与えた力（=抗力） = 流体が持ち去った運動量の減少（欠損）
という考え方を使います。 これは運動量保存則（Newton 第2法則と流体の制御体積法）に基づきます。

例：運動量欠損法

物体の後流で速度分布が (u(y)) になるとき， [ D' = \rho \int u(y)\left(U_\infty - u(y)\right)dy ] という式で抗力（2D物体の単位スパン当たり）を求めます。
物体が流れを減速させた → 運動量が失われた → その分の力を物体が受けている（抗力）
という構図です。

✅ 抗力は常に運動量欠損で表すのか？

いいえ、必ずしもこの形で表わすわけではありません。 他の形式：
  • 圧力分布の積分
  • 摩擦応力の積分
  • Navier–Stokes で解析
  • CFDで直接算出
しかしどの方法でも最終的には同じ抗力が出ます。 その根拠は運動量保存則です。

✅ 抗力係数とは？

抗力 (D) を無次元化したもの： [ C_D = \frac{D}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2 A} ]
  • (A)：代表投影面積
  • (\frac12 \rho U_\infty^2)：動圧
抗力係数は，「流れの抗力を規格化した指標」
です。 抗力係数そのものは運動量欠損ではなく 抗力を動圧 × 面積で無次元化した量です。

✅ まとめ

項目 意味
抗力 (D) 流体が物体を押す力
抗力の発生源 圧力差 + 摩擦 +（仕切り面では）運動量欠損
抗力は運動量欠損？ ✅ 流れ場から評価するとそうなる
抗力係数 (C_D) (D) を (\tfrac12\rho U_\infty^2 A) で無次元化
抗力は運動量の欠損から求められる 抗力係数は抗力を無次元化した指標

✅ 補足：物体のどこに抗力が働く？

成分 説明
圧力抗力 (form drag) 前後の圧力差
摩擦抗力 (skin friction drag) 壁面摩擦によるせん断
後流の運動量欠損には両方の効果が含まれるので便利。
必要なら
  • 運動量欠損法の厳密導出
  • 有名な後流の抗力係数（円柱、翼、球など）
  • 実験的に抗力係数がどう測定されるか
なども説明できます。 続けますか？

運動量と運動エネルギーはことなりますか？

  はい、運動量と運動エネルギーは異なる量です。 しばしば混同されますが、意味も式もまったく違います。

✅ 定義と違い

項目 運動量 ( \mathbf{p} ) 運動エネルギー (E_k)
意味 質量×速度（運動の勢い） 運動によって持つエネルギー
式 (\displaystyle \mathbf{p}=m\mathbf{v}) (\displaystyle E_k=\frac12 m v^2)
ベクトル/スカラー ベクトル量 スカラー量
保存則 孤立系で保存（運動量保存則） 保存しない（損失や変換あり）
力との関係 (\displaystyle F = \frac{dp}{dt}) エネルギー変化は仕事と熱で変わる

✅ 物理的な違いのイメージ

運動量

どれだけ押し返してくるか（力の伝達）
例： 軽いピンポン球（高速） vs 重いボール（低速）
  • ピンポン球 → 運動量小さい（弱い衝突）
  • 重いボール → 運動量大きい（強い衝突）

運動エネルギー

どれだけ仕事ができるか（破壊力）
同じ速さでも、質量が大きければ大きな破壊力。 自動車や銃弾の威力は運動エネルギーで決まる。

✅ 流体力学での役割の違い

分野 使う概念 例
流れ場の力（抗力、揚力） 運動量 運動量保存式、抗力＝運動量欠損
圧力や速度の関係 エネルギー ベルヌーイの式 (p + \frac12\rho v^2 = \text{const})

抗力はどちらか？

運動量（と圧力）で決まる なぜなら力 = 運動量変化率だから [ F = \frac{d}{dt} \int \rho \mathbf{v}, dV ] ※抗力係数 (C_D) に出る (\frac12\rho U^2) は動圧であり 「単位体積あたり運動エネルギー」と同じ次元ですが 抗力を直接運動エネルギーから決めるわけではありません。 ややこしいですが、
  • 抗力＝運動量の損失
  • しかし抗力係数の基準は動圧 (\frac12\rho U^2)
という構造です。

✅ まとめ

要点 内容
運動量 = 質量×速度 力と衝突に関係
運動エネルギー = (\frac12 m v^2) 仕事・破壊力に関係
抗力は運動量変化 エネルギーではない
流体係数に動圧が出る スケールとして便利なため（無次元化）
必要なら、
  • なぜ抗力係数に (\frac12\rho U^2) が出るか
  • ベルヌーイ式と運動量式の違い
  • 後流の損失エネルギーと抗力の関係
なども図で説明できます。続きを聞きたいですか？  

運動量のmにあたる部分がρu(y)、ｖにあたる部分がu-u(y)ですか？mはなぜ後流の速度から求めるのですか

とても良いところに着目されています。 ただし、少し誤解があるので丁寧に整理します。

✅ 流体の運動量の表現

粒子の場合： [ p = m v ] 流体では「単位時間に通過する質量 × 速度（運動量流束）」を使います。

■ 流体の質量流量

[ dm = \rho, u(y),dy \quad(\text{2次元流れで単位幅}) ]
  • (\rho)：密度
  • (u(y))：局所速度
  • (dy)：厚み
  • 単位時間あたり → 質量流量 = (\rho u(y) dy)
つまり質量流量が ( \rho, u(y),dy )
(m) に相当するものが **「瞬間に流れる質量」**でなく 時間あたりに流れる質量（質量流束）

■ 運動量（流束）

流体の運動量（単位時間あたり）は [ \text{運動量流束} = (\text{質量流量}) \times (\text{速度}) = \rho u(y),dy \cdot u(y) = \rho u^2(y),dy ] これが「流れの運び去る運動量」です。

✅ では抗力は？

物体は流れの運動量を減らす → 減った分が抗力 物体がなければ下流速度は (U_\infty) よって運動量欠損： [ \Delta(\rho u^2)\ dy = \rho\left[U_\infty^2 - u^2(y)\right]dy ] しかしこれを分配すると [ U_\infty^2 - u^2 = (U_\infty - u)(U_\infty + u) ] 後流近くでは (U_\infty + u ≈ 2u) とみなせるので、 実用形として [ D' = \rho \int u(y)\left(U_\infty - u(y)\right)dy ] が使われます。

✅ 質問の回答

Q1:

運動量の m にあたる部分が ρu(y)、v にあたる部分が u−u(y) ですか？
違います。
粒子物理 流体力学
質量 (m) 質量流量 ( \rho u(y)dy )
速度 (v) 速度 (u(y))
です。 ((U_\infty - u)) は「損失した速度成分」を表すために出てきます。

Q2:

mはなぜ後流の速度から求めるのですか？
理由：
物体の影響は後流に現れるから → 下流の速度分布から運動量損失を測る
上流は一様 (U_\infty) なので 物体による影響は後流にしか現れません。

✅ もっと短くまとめると

量 意味
(\rho u(y)dy) 単位時間に通過する質量（質量流量）
(\rho u^2(y)dy) 単位時間に通過する運動量
(\rho u(y)(U_\infty - u(y))dy) 運動量損失（抗力）

✅ 例え話

水路を流れる水の勢いが物体の後ろで弱くなる → 勢いの低下＝物体が受けた力 だから 後流（wake）の情報で抗力が決まるのです。
必要なら、図で
  • 質量流束
  • 運動量流束
  • 後流のモーメンタム厚さ
なども説明できます。 次は「排除厚さ δ* と運動量厚さ θ の関係」も話しましょうか？

後流近くでは ∞ + ≈ 2 U ∞​+u≈2u とみなせるので、がよくわかりません。大きさが異なり近似できるように気がしません

ご指摘の点、とても良いところです。 「(U_\infty + u \approx 2u) とみなす」という説明は誤解を招く表現でした。 あなたの直感どおり、一般に成り立つ近似ではありません。 この近似は、「後流の速度 (u(y)) が (U_\infty) にかなり近い（＝薄い後流・弱い抗力）」という特定の状況でのみ使われることがありますが、本質的には必要ありません。 正確な説明に修正します。

✅ 正しい抗力の運動量欠損式

物体が流れを減速させる → 運動量を失わせる [ D' = \rho \int_{-h}^{h} [U_\infty^2 - u^2(y)],dy ] ここで恒等式 [ U_\infty^2 - u^2 = (U_\infty - u)(U_\infty + u) ] なので、 [ D' = \rho \int (U_\infty - u)(U_\infty + u),dy ] これが正しい理論式です。

✅ なぜ教科書で (\rho \int u(U_\infty - u),dy) と書くの？

「運動量厚さ (θ)」の定義と一致させるための便宜的な書き換えです： [ \theta = \int_0^\delta \frac{u}{U_\infty}\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right) dy ] これを使うと、抗力 per unit span は [ D' = \rho U_\infty^2 \cdot 2\theta ] となるので、よく使う形は [ D' = \rho \int u(U_\infty - u)dy ] ただし、これは**小さな後流（薄い境界層近似）**で [ u \approx U_\infty ] が成り立つときに、 [ U_\infty + u \approx 2U_\infty ] と置いて [ (U_\infty - u)(U_\infty + u) ≈ (U_\infty - u)\cdot 2U_\infty = 2U_\infty(U_\infty - u) ] と 線形化したものです。

✅ 正しい近似はこれです

[ U_\infty + u \approx 2U_\infty \quad(\text{後流が薄いとき}) ] (U_\infty + u \approx 2u) ではありません。
あなたが違和感を覚えたのは正しいです。

✅ なぜ後流の速度を使うの？

  • 上流は一様 (U_\infty)
  • 抗力は「流れの勢いがどれだけ減ったか」
だから後流の運動量だけを見れば十分です。

✅まとめ

誤解しやすい点 正しい内容
(U_\infty + u \approx 2u) ❌ 一般に成立しない近似
薄い後流で (u \approx U_\infty) ✅ 正しい
近似なら (U_\infty + u \approx 2U_\infty) ✅ 正しい
抗力＝運動量欠損 ✅ 本質
もし希望なら、次の説明もできます：
  • 運動量厚さ (θ) の導出
  • CFD後流分布から抗力を求める方法
  • 実験データで抗力を積分評価する方法
どこまで掘り下げますか？