答え:⑤

各選択肢の検討

  1. 「減衰が存在するとき,共振時の応答は有限の振幅になる。」
    無減衰系(理想)では励振周波数=固有角周波数で理論的に無限大(発散)となるが,粘性減衰があれば最大振幅は有限。正しい。
  2. 「減衰が存在するとき,自由振動は時間とともにゼロに収束する。」
    粘性減衰 c>0c>0 

    かつ

    ζ>0ζ>0 

    ならエネルギー散逸により振幅は指数的に減少し 0 に向かう。正しい(臨界・過減衰も単調減衰で 0 へ)。

  3. 「減衰が大きい場合は,減衰が無い場合に比べて共振周波数は小さくなる。」
    粘性減衰比 ζ<1ζ<1 

    の下での“共振(共振ピークが現れる)周波数”や“減衰固有角周波数”は

    ωd=ωn1ζ2\omega_d=\omega_n\sqrt{1-ζ^2} 

    で,無減衰

    ωn\omega_n 

    より小さい。正しい。
    (厳密な“共振ピーク周波数”は

    ωr=ωn12ζ2\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2ζ^2} 

    (ζ<1/√2) であり,やはり

    ωn\omega_n 

    より小さい。)

  4. 「減衰比が 1 より大きいときを過減衰という。」
    減衰比 ζ=1ζ=1 

    が臨界,

    ζ>1ζ>1 

    が過減衰。正しい。

  5. 「減衰比は(力/速度)の次元を持つ。」
    これは 誤り。力/速度(N·s/m)は“粘性減衰係数” cc 

    の次元であり,減衰比(damping ratio)

    ζ=c/(2mk)ζ = c / (2\sqrt{mk}) 

    無次元

従って 最も不適切なのは ⑤

 

参考:技術士第一次試験-令和2年度機械部門Ⅲ-15解答例 | 技術士のたまご

c≠0 のときの 固有角周波数の式を書いてください。ここから臨界減衰係数と減衰状態の分類を説明してください

1  単自由度ばね‐ダンパ‐質量系の運動方程式

mx¨+cx˙+kx=0(1)m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0 \tag{1}

 


2  固有角周波数に減衰を含めた一般形

(1) に

x(t)=estx(t)=e^{st}

を代入すると

s2+cms+km=0(2)s^{2}+\frac{c}{m}s+\frac{k}{m}=0 \tag{2}

 

s=c2m  ±  (c2m)2km(3)s=-\frac{c}{2m}\;\pm\;\sqrt{\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^{2}-\frac{k}{m}}\tag{3}

 


■ 不足減衰領域   0<c<2mk\;0<c<2\sqrt{mk}

 

 

(c/2m)2<k/m(c/2m)^{2}<k/m

なので (3) の平方根が虚数になり,

s=c2m  ±  jkm(c2m)2ωd(4)s=-\frac{c}{2m}\;\pm\;j\,\underbrace{\sqrt{\frac{k}{m}-\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^{2}}}_{\displaystyle \omega_d} \tag{4}

ωd  =  km    (c2m)2  =  ωn1ζ2(ωn=km,  ζ=c2mk)\boxed{\displaystyle \omega_d \;=\;\sqrt{\frac{k}{m}\;-\;\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^2} \;=\;\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}} \qquad \left(\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\; \zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}\right)

 

これが 減衰固有角周波数(damped natural frequency)です。

c0c\ne 0

でも振動が残る場合は,ばね‐質量だけの

ωn\omega_n

実振動角周波数 ωd<ωn\text{実振動角周波数 } \omega_d < \omega_n

 

へ低下します。


3  臨界減衰係数

平方根が 0 になる境界が

(c2m)2=km        cc=2mk(5)\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^{2}=\frac{k}{m}\;\;\Longrightarrow\;\; \boxed{c_c = 2\sqrt{mk}} \tag{5}

 


4  減衰状態の分類( cc

 

 

または ζ=c/cc\zeta=c/c_c

 

 

による)

減衰比

ζ\zeta 

減衰係数

cc 

特性根 応答の特徴 状 態

00 

00 

±jωn \pm j\omega_n 

振幅一定で周期振動 無減衰

0<ζ<10<\zeta<1 

0<c<cc0<c<c_c 

c2m±jωd-\dfrac{c}{2m}\pm j\omega_d 

減衰振動(オーバーシュートあり) 不足減衰

11 

c=ccc=c_c 

重根

cc2m=ωn-\dfrac{c_c}{2m}=-\omega_n 

最速・無振動収束 臨界減衰

>1>1 

c>ccc>c_c 

実負 2 根 振動せず遅い二指数減衰 過減衰

<0<0 

c<0c<0 

一部正の実部 発散(不安定) 負減衰

5  ポイントまとめ

  • 固有角周波数(減衰含む)
    ωd=km(c2m)2\displaystyle \omega_d=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\Bigl(\dfrac{c}{2m}\Bigr)^2} 
  • 臨界減衰係数
    cc=2mk\displaystyle c_c=2\sqrt{mk} 

    (これより大きいと振動は消えるが応答は遅くなる)

  • 分類
      c=0\;c=0 

    無減衰 →

    0<c<cc0<c<c_c 

    不足減衰 →

    c=ccc=c_c 

    臨界減衰 →

    c>ccc>c_c 

    過減衰

この関係を押さえておけば,任意の

m,k,cm,k,c

が与えられたときに

  • 実際の振動周波数
    ωd\omega_d
     
  • 振動の有無と減衰形
    を即座に判断できます。

参考

技術士第一次試験-令和2年度機械部門Ⅲ-15解答例 | 技術士のたまご