答え：⑤

各選択肢の検討

1. 「減衰が存在するとき，共振時の応答は有限の振幅になる。」
   無減衰系（理想）では励振周波数＝固有角周波数で理論的に無限大（発散）となるが，粘性減衰があれば最大振幅は有限。正しい。
2. 「減衰が存在するとき，自由振動は時間とともにゼロに収束する。」
   粘性減衰 $c>0$ 

   かつ

   $ζ>0$ 

   ならエネルギー散逸により振幅は指数的に減少し 0 に向かう。正しい（臨界・過減衰も単調減衰で 0 へ）。

3. 「減衰が大きい場合は，減衰が無い場合に比べて共振周波数は小さくなる。」
   粘性減衰比 $ζ<1$ 

   の下での“共振（共振ピークが現れる）周波数”や“減衰固有角周波数”は

   $\omega_d=\omega_n\sqrt{1-ζ^2}$ 

   で，無減衰

   $\omega_n$ 

   より小さい。正しい。
   （厳密な“共振ピーク周波数”は

   $\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2ζ^2}$ 

   (ζ<1/√2) であり，やはり

   $\omega_n$ 

   より小さい。）

4. 「減衰比が 1 より大きいときを過減衰という。」
   減衰比 $ζ=1$ 

   が臨界，

   $ζ>1$ 

   が過減衰。正しい。

5. 「減衰比は（力／速度）の次元を持つ。」
   これは 誤り。力／速度（N·s/m）は“粘性減衰係数” $c$ 

   の次元であり，減衰比（damping ratio）

   $ζ = c / (2\sqrt{mk})$ 

   は 無次元。

従って 最も不適切なのは ⑤。

 

参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-15解答例 | 技術士のたまご

c≠0 のときの 固有角周波数の式を書いてください。ここから臨界減衰係数と減衰状態の分類を説明してください

1  単自由度ばね‐ダンパ‐質量系の運動方程式

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0 \tag{1}$$

 

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2  固有角周波数に減衰を含めた一般形

(1) に

$x(t)=e^{st}$

を代入すると

$$s^{2}+\frac{c}{m}s+\frac{k}{m}=0 \tag{2}$$

 

根

$$s=-\frac{c}{2m}\;\pm\;\sqrt{\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^{2}-\frac{k}{m}}\tag{3}$$

 

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■ 不足減衰領域 $\;0<c<2\sqrt{mk}$

 

 

$(c/2m)^{2}<k/m$

なので (3) の平方根が虚数になり，

$$s=-\frac{c}{2m}\;\pm\;j\,\underbrace{\sqrt{\frac{k}{m}-\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^{2}}}_{\displaystyle \omega_d} \tag{4}$$

$$\boxed{\displaystyle \omega_d \;=\;\sqrt{\frac{k}{m}\;-\;\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^2} \;=\;\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}} \qquad \left(\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},\; \zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}\right)$$

 

これが 減衰固有角周波数（damped natural frequency）です。

$c\ne 0$

でも振動が残る場合は，ばね‐質量だけの

$\omega_n$

が

$$\text{実振動角周波数 } \omega_d < \omega_n$$

 

へ低下します。

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3  臨界減衰係数

平方根が 0 になる境界が

$$\Bigl(\frac{c}{2m}\Bigr)^{2}=\frac{k}{m}\;\;\Longrightarrow\;\; \boxed{c_c = 2\sqrt{mk}} \tag{5}$$

 

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4  減衰状態の分類（ $c$

 

 

または $\zeta=c/c_c$

 

 

による）

減衰比 $\zeta$	減衰係数 $c$	特性根	応答の特徴	状　態
$0$	$0$	$\pm j\omega_n$	振幅一定で周期振動	無減衰
$0<\zeta<1$	$0<c<c_c$	$-\dfrac{c}{2m}\pm j\omega_d$	減衰振動（オーバーシュートあり）	不足減衰
$1$	$c=c_c$	重根 $-\dfrac{c_c}{2m}=-\omega_n$	最速・無振動収束	臨界減衰
$>1$	$c>c_c$	実負 2 根	振動せず遅い二指数減衰	過減衰
$<0$	$c<0$	一部正の実部	発散（不安定）	負減衰

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5  ポイントまとめ

• 固有角周波数（減衰含む）
  $\displaystyle \omega_d=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\Bigl(\dfrac{c}{2m}\Bigr)^2}$ 
• 臨界減衰係数
  $\displaystyle c_c=2\sqrt{mk}$ 

  （これより大きいと振動は消えるが応答は遅くなる）

• 分類
  $\;c=0$ 

  無減衰 →

  $0<c<c_c$ 

  不足減衰 →

  $c=c_c$ 

  臨界減衰 →

  $c>c_c$ 

  過減衰

この関係を押さえておけば，任意の

$m,k,c$

が与えられたときに

• 実際の振動周波数
  $\omega_d$ 
• 振動の有無と減衰形
  を即座に判断できます。

参考

技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-15解答例 | 技術士のたまご