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モールの応力円

モールの応力円とは

モールの応力円は、外力に対して、内部でどういう力が発生したのかが
ビジュアル的に把握できるという代物です。

 

参考:https://www.noboyu.com/entry/Mohrs-circle

モールの応力円の公式

モールの応力円では、主応力$σ_1$、$σ_2$が与えられたとき
θだけ傾いた面で働いている力を求める事ができます。

モールの応力円の式は
$(σ_x^{ ’ }-\frac{σ_x+σ_y}{ 2 })^{ 2 }+τ^{ 2 }_{x^{ ’ }y^{ ’ }}=\frac{ 1 }{ 4 }(σ_x-σ_y)^{2}++τ^{ 2 }_{xy}$

となります。
これは、中心座標が[$\frac{σ_x+σ_x}{ 2 }$,0]で
半径が$(\frac{ 1 }{ 4 }(σ_x-σ_y)^{2}++τ^{ 2 }_{xy})^{0.5}$の円を表しています。

おすすめ例題

Q1:https://www.noboyu.com/entry/Mohrs-circle
Q2:http://civil.meijo-u.ac.jp/lab/kodaka/lecture07/no11.pdf

 

応力のつり合いとひずみと変位

応力のつり合い方程式

下の図のような微小物体内では、
垂直応力$σ_x$、$σ_y$、$σ_z$
せん断応力$τ_{xy}$、$τ_{xz}$、
物体力X、Y、Zが作用するとき、
x、y、z方向のつり合いを考えると、

$\frac{∂σ_x}{ ∂x }+\frac{∂τ_{xy}}{ ∂y }+\frac{∂τ_{zx}}{ ∂z }+X$

$\frac{∂τ_{xy}}{ ∂x }+\frac{∂σ_{y}}{ ∂y }+\frac{∂τ_{yz}}{ ∂z }+Y$

$\frac{∂τ_{zx}}{ ∂x }+\frac{∂τ_{yz}}{ ∂y }+\frac{∂σ_{z}}{ ∂z }+Z$

これを応力のつり合い方程式という。

 

つり合い方程式

図の引用:https://gijutsuya.net/knowledge-base/1847/

ひずみ-変位関係式

$ε_x = \frac{∂u}{ ∂x }$

$ε_y = \frac{∂v}{ ∂y }$

$ε_z = \frac{∂w}{ ∂z }$

$γ_{xy} = \frac{∂u}{ ∂y }+\frac{∂v}{ ∂x }$

$γ_{yz} = \frac{∂v}{ ∂z }+\frac{∂w}{ ∂y }$

$γ_{zx} = \frac{∂w}{ ∂x }+\frac{∂u}{ ∂z }$

ここで、$ε_x$、$ε_y$、$ε_z$はそれぞれx、y、z軸方向の垂直ひずみ、
$γ_{xy}$、$γ_{yz}$、$γ_{zx}$はそれぞれx-y面、y-z面、z-x面のせん断ひずみであり
これらをまとめてひずみ成分という。

 

また、x、y、z軸まわりの変形を伴わない回転の角度は

$ω_{x} = \frac{1}{2}(\frac{∂w}{ ∂y }-\frac{∂v}{ ∂z })$

$ω_{y} = \frac{1}{2}(\frac{∂u}{ ∂z }-\frac{∂w}{ ∂x })$

$ω_{z} = \frac{1}{2}(\frac{∂v}{ ∂x }-\frac{∂u}{ ∂y })$

で表される。これらを回転(rotation)という。

 

おすすめ例題

[理解度アップ]

http://www.geol.tsukuba.ac.jp/~yagi-y/text/2015geody-resources.pdf

http://aitech.ac.jp/~narita/telastic01.pdf

 

[肩慣らし]

http://web.tuat.ac.jp/~nagaki/zairiki/exercise/ex2007/2k7ze01_Bans.pdf

 

http://ms-laboratory.jp/zai/ex_z/ex_1.htm

 

 

 

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