片対数グラフ、両対数グラフの傾きの求め方

対数グラフ（log–log グラフや semi‐log グラフとも呼ばれる）は，データが指数関数的あるいはべき乗則的な振る舞いを示すときに，「直線」でプロットできるよう軸を対数目盛にしたグラフです。ここでは代表的な２種類について、

1. 半対数グラフ（片対数グラフ）
2. 両対数グラフ（log–log グラフ）

それぞれの「直線の傾き」の求め方をステップ・バイ・ステップで解説します。

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1. 半対数グラフ（semilog）

• 横軸：通常の線形目盛
• 縦軸：対数目盛（logarithmic scale）

1-1. 何が直線になる？

指数関数モデル

$$y = A \, e^{b x}$$

  の両辺に自然対数を取ると

$$\ln y = \ln A + b x$$

  となり，横軸を $x$ ，縦軸を $\ln y$ （または $\log_{10}y$ ）でプロットすると直線になります。

1-2. 傾き $m$

 

の求め方

グラフ上の２点 $(x_1,\;y_1)$ と $(x_2,\;y_2)$ を選び，縦軸は $\ln y$ ，横軸は $x$ として考えると，傾き $m$ は

$$m \;=\;\frac{\Delta (\ln y)}{\Delta x} \;=\;\frac{\ln y_2 - \ln y_1}{\,x_2 - x_1\,}$$

  この傾き $m$ がまさに指数関数の「成長率」 $b$ に対応します。

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2. 両対数グラフ（log–log）

• 横軸：対数目盛（ $\log x$  ）
• 縦軸：対数目盛（ $\log y$  ）

2-1. 何が直線になる？

べき乗則モデル

$$y = C \, x^{k}$$

  の両辺に対数を取ると

$$\log y = \log C + k\,\log x$$

  となり，横軸を $\log x$ ，縦軸を $\log y$ でプロットすると直線になります。

2-2. 傾き $m$

 

の求め方

グラフ上の２点 $(x_1,\;y_1)$ と $(x_2,\;y_2)$ を選び， 縦軸を $\log y$ ，横軸を $\log x$ として考えると，傾き $m$ は

$$m \;=\;\frac{\Delta (\log y)}{\Delta (\log x)} \;=\;\frac{\log y_2 - \log y_1}{\,\log x_2 - \log x_1\,}$$

  ここで求まった $m$ が，モデル中の「指数」 $k$ に対応します。

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3. 実際の手順まとめ

1. グラフを描く
   • データが指数関数的なら半対数（縦だけ対数）
   • データがべき乗則的なら両対数
2. 直線領域を選ぶ
   • 値の散らばりが大きい場合は，直線に近い部分を２点取り
3. ２点を読み取る
   • $(x_1,y_1)$  , $(x_2,y_2)$  を正確に読み取る
   • 対数目盛ゆえ “目盛り数” をそのまま使ってもOK
4. 傾きの計算
   • 半対数グラフ： $m = (\ln y_2 - \ln y_1)/(x_2 - x_1)$ 
   • 両対数グラフ： $m = (\log y_2 - \log y_1)/(\log x_2 - \log x_1)$ 
5. 物理量への解釈
   • 半対数：傾き $m$  が増加率（例：成長率、崩壊定数）
   • 両対数：傾き $m$  がべき乗の指数（例： $y\propto x^m$  ）

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例題（両対数グラフの場合）

データ点

$$( x_1=2,\; y_1=5 ),\quad ( x_2=8,\; y_2=20 )$$

  がべき乗則に従うと仮定して両対数グラフにプロットするとき，傾き $m$ は

$$m = \frac{\log_{10}20 - \log_{10}5}{\log_{10}8 - \log_{10}2} = \frac{1.3010 - 0.6990}{0.9031 - 0.3010} = \frac{0.6020}{0.6021} \approx 1.00$$

  よって，モデルは $y\approx C\,x^{1.0}$ すなわち比例関係であることがわかります。

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以上が「対数グラフ上の直線の傾き」を求める基本的な流れです。グラフ化の際には，対数目盛の読み取りミスに注意しつつ，必ず直線領域から２点を正確に拾って計算してください。もし具体的なデータや演習問題があれば，さらに詳しくご一緒に解いていきましょう！  

例題（片対数グラフの場合）

  以下では，片対数グラフ（縦軸だけ対数目盛，横軸は線形目盛）の例題をステップごとに解いていきます。 ある量 $y$ が $x$ に対して指数関数的に変化し，モデルは $$y = A \, e^{b x}$$   と仮定します。観測データとして，次の２点を得たとします。 $$(x_1, y_1) = (1,\;3),\quad (x_2, y_2) = (4,\;24)$$   このデータを半対数グラフ（縦軸に $\ln y$ ，横軸に $x$ ）にプロットしたとき，直線の傾き $m$ を求め，元のモデルのパラメータ $b$ と定数 $A$ を求めてみましょう。

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ステップ1：ログ変換

縦軸は $\ln y$ なので，各点を変換します。 $$\ln y_1 = \ln 3 \approx 1.0986,\qquad \ln y_2 = \ln 24 \approx 3.1781$$  

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ステップ2：傾き $m$

 

の計算

半対数グラフ上の直線の傾きは $$m \;=\;\frac{\Delta(\ln y)}{\Delta x} \;=\;\frac{\ln y_2 - \ln y_1}{x_2 - x_1}$$   より、 $$m = \frac{3.1781 - 1.0986}{\,4 - 1\,} = \frac{2.0795}{3} \approx 0.6932$$   この $m$ が，モデル中の指数 $b$ に対応します。よって $$\boxed{b \approx 0.6932}$$  

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ステップ3：切片（定数項） $A$

 

の計算

モデルは $\ln y = \ln A + b\,x$ と同形なので，任意の点を使って $\ln A$ を求められます。たとえば $(x_1,y_1)$ を用いて $$\ln 3 = \ln A + b\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad \ln A = \ln 3 - b = 1.0986 - 0.6932 = 0.4054$$   よって $$A = e^{0.4054} \approx 1.500$$  

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ステップ4：最終モデルの確認

以上より，元の指数関数モデルは $$\boxed{y \approx 1.50 \;e^{0.693\,x}}$$   となります。 ちなみに $b\approx0.693$ は $e^b\approx2$ に相当するので，「 $x$ が1増えるごとに $y$ がほぼ2倍になる」成長率を表しています。

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まとめ

1. データ点を $(x_i,\;y_i)$  で読み取り，縦軸に $\ln y$  を取る。
2. 傾き $m = (\ln y_2 - \ln y_1)/(x_2 - x_1)$  を計算し，モデルの指数 $b = m$  と対応づける。
3. 切片 $\ln A$  は $\ln y_i - b\,x_i$  から求め，定数 $A$  を得る。

この手順で，片対数グラフ上の直線から指数関数モデルのパラメータを簡単に読み取れます。具体的なデータがあれば，ぜひ同じ流れで試してみてください！