片対数グラフ、両対数グラフの傾きの求め方

対数グラフ（log–log グラフや semi‐log グラフとも呼ばれる）は，データが指数関数的あるいはべき乗則的な振る舞いを示すときに，「直線」でプロットできるよう軸を対数目盛にしたグラフです。ここでは代表的な２種類について、

1. 半対数グラフ（片対数グラフ）
2. 両対数グラフ（log–log グラフ）

それぞれの「直線の傾き」の求め方をステップ・バイ・ステップで解説します。

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1. 半対数グラフ（semilog）

• 横軸：通常の線形目盛
• 縦軸：対数目盛（logarithmic scale）

1-1. 何が直線になる？

指数関数モデル

$$y = A \, e^{b x}$$

 

の両辺に自然対数を取ると

$$\ln y = \ln A + b x$$

 

となり，横軸を

$x$

，縦軸を

$\ln y$

（または

$\log_{10}y$

）でプロットすると直線になります。

1-2. 傾き $m$

 

の求め方

グラフ上の２点

$(x_1,\;y_1)$

と

$(x_2,\;y_2)$

を選び，縦軸は

$\ln y$

，横軸は

$x$

として考えると，傾き

$m$

は

$$m \;=\;\frac{\Delta (\ln y)}{\Delta x} \;=\;\frac{\ln y_2 – \ln y_1}{\,x_2 – x_1\,}$$

 

この傾き

$m$

がまさに指数関数の「成長率」

$b$

に対応します。

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2. 両対数グラフ（log–log）

• 横軸：対数目盛（
  $\log x$ 

  ）

• 縦軸：対数目盛（
  $\log y$ 

  ）

2-1. 何が直線になる？

べき乗則モデル

$$y = C \, x^{k}$$

 

の両辺に対数を取ると

$$\log y = \log C + k\,\log x$$

 

となり，横軸を

$\log x$

，縦軸を

$\log y$

でプロットすると直線になります。

2-2. 傾き $m$

 

の求め方

グラフ上の２点

$(x_1,\;y_1)$

と

$(x_2,\;y_2)$

を選び，
縦軸を

$\log y$

，横軸を

$\log x$

として考えると，傾き

$m$

は

$$m \;=\;\frac{\Delta (\log y)}{\Delta (\log x)} \;=\;\frac{\log y_2 – \log y_1}{\,\log x_2 – \log x_1\,}$$

 

ここで求まった

$m$

が，モデル中の「指数」

$k$

に対応します。

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3. 実際の手順まとめ

1. グラフを描く
   • データが指数関数的なら半対数（縦だけ対数）
   • データがべき乗則的なら両対数
2. 直線領域を選ぶ
   • 値の散らばりが大きい場合は，直線に近い部分を２点取り
3. ２点を読み取る
   • 
     $(x_1,y_1)$ 

     , $(x_2,y_2)$ 

     を正確に読み取る

   • 対数目盛ゆえ “目盛り数” をそのまま使ってもOK
4. 傾きの計算
   • 半対数グラフ：
     $m = (\ln y_2 – \ln y_1)/(x_2 – x_1)$ 
   • 両対数グラフ：
     $m = (\log y_2 – \log y_1)/(\log x_2 – \log x_1)$ 
5. 物理量への解釈
   • 半対数：傾き
     $m$ 

     が増加率（例：成長率、崩壊定数）

   • 両対数：傾き
     $m$ 

     がべき乗の指数（例： $y\propto x^m$ 

     ）

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例題（両対数グラフの場合）

データ点

$$( x_1=2,\; y_1=5 ),\quad ( x_2=8,\; y_2=20 )$$

 

がべき乗則に従うと仮定して両対数グラフにプロットするとき，傾き

$m$

は

$$m = \frac{\log_{10}20 – \log_{10}5}{\log_{10}8 – \log_{10}2} = \frac{1.3010 – 0.6990}{0.9031 – 0.3010} = \frac{0.6020}{0.6021} \approx 1.00$$

 

よって，モデルは

$y\approx C\,x^{1.0}$

すなわち比例関係であることがわかります。

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以上が「対数グラフ上の直線の傾き」を求める基本的な流れです。グラフ化の際には，対数目盛の読み取りミスに注意しつつ，必ず直線領域から２点を正確に拾って計算してください。もし具体的なデータや演習問題があれば，さらに詳しくご一緒に解いていきましょう！

 

例題（片対数グラフの場合）

 

以下では，片対数グラフ（縦軸だけ対数目盛，横軸は線形目盛）の例題をステップごとに解いていきます。

ある量

$y$

が

$x$

に対して指数関数的に変化し，モデルは

$$y = A \, e^{b x}$$

 

と仮定します。観測データとして，次の２点を得たとします。

$$(x_1, y_1) = (1,\;3),\quad (x_2, y_2) = (4,\;24)$$

 

このデータを半対数グラフ（縦軸に

$\ln y$

，横軸に

$x$

）にプロットしたとき，直線の傾き

$m$

を求め，元のモデルのパラメータ

$b$

と定数

$A$

を求めてみましょう。

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ステップ1：ログ変換

縦軸は

$\ln y$

なので，各点を変換します。

$$\ln y_1 = \ln 3 \approx 1.0986,\qquad \ln y_2 = \ln 24 \approx 3.1781$$

 

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ステップ2：傾き $m$

 

の計算

半対数グラフ上の直線の傾きは

$$m \;=\;\frac{\Delta(\ln y)}{\Delta x} \;=\;\frac{\ln y_2 – \ln y_1}{x_2 – x_1}$$

 

より、

$$m = \frac{3.1781 – 1.0986}{\,4 – 1\,} = \frac{2.0795}{3} \approx 0.6932$$

 

この

$m$

が，モデル中の指数

$b$

に対応します。よって

$$\boxed{b \approx 0.6932}$$

 

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ステップ3：切片（定数項） $A$

 

の計算

モデルは

$\ln y = \ln A + b\,x$

と同形なので，任意の点を使って

$\ln A$

を求められます。たとえば

$(x_1,y_1)$

を用いて

$$\ln 3 = \ln A + b\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad \ln A = \ln 3 – b = 1.0986 – 0.6932 = 0.4054$$

 

よって

$$A = e^{0.4054} \approx 1.500$$

 

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ステップ4：最終モデルの確認

以上より，元の指数関数モデルは

$$\boxed{y \approx 1.50 \;e^{0.693\,x}}$$

 

となります。
ちなみに

$b\approx0.693$

は

$e^b\approx2$

に相当するので，「

$x$

が1増えるごとに

$y$

がほぼ2倍になる」成長率を表しています。

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まとめ

1. データ点を
   $(x_i,\;y_i)$ 

   で読み取り，縦軸に $\ln y$ 

   を取る。

2. 傾き
   $m = (\ln y_2 – \ln y_1)/(x_2 – x_1)$ 

   を計算し，モデルの指数 $b = m$ 

   と対応づける。

3. 切片
   $\ln A$ 

   は $\ln y_i – b\,x_i$ 

   から求め，定数 $A$ 

   を得る。

この手順で，片対数グラフ上の直線から指数関数モデルのパラメータを簡単に読み取れます。具体的なデータがあれば，ぜひ同じ流れで試してみてください！