まずは、$ｌ_2$部の伸びを求めます。
$ σ_2 = \frac{ ρgA_2x }{ A_2 } = ρgx$
$ ε = \frac{ σ_2 }{ E }$
$ｌ_2$の伸びは上式を0から$ｌ_2$までの範囲で積分すると求まり、
$ \int_0^{ｌ_2}\frac{ ρgx }{ E } dx = \frac{ ρgｌ_2^{2} }{ 2E }$
となる。
次に、$ｌ_1$部の伸びを求めます。
$ σ_1 = \frac{ ρgA_2ｌ_2 ＋ ρgA_1x }{ A_1 } $
$ ε = \frac{ σ_1 }{ E }$
$ｌ_1$の伸びは上式を0から$ｌ_1$までの範囲で積分すると求まり、
$ \int_0^{ｌ_1}\frac{ ρgA_2ｌ_2 ＋ ρgA_1x }{ A_1E } dx = \frac{ ρgA_2ｌ_1ｌ_2 }{ A_1E } +\frac{ ρgｌ_1^2 }{ 2E }$
よって全体の伸び量は
$ \frac{ ρgｌ_2^{2} }{ 2E }＋\frac{ ρgA_2ｌ_1ｌ_2 }{ A_1E } +\frac{ ρgｌ_1^2 }{ 2E } ＝ \frac{ ρgA_2ｌ_1ｌ_2 }{ A_1E } +\frac{ ρg（ｌ_1^2＋ｌ_2^2） }{ 2E }$
[解答] ②
参考：https://www.jsme.or.jp/kaisi/1203-40/
ポイント
棒の任意の断面に作用する応力は、任意の断面より下側にある棒の自重が応力としてかかる。
（特に根本に近づくほど発生する応力は、かなり大きくなる）
よって、積分で求めることになる。
