https://kakomonn.com/gijyutushi/questions/36516

https://www.engineer.or.jp/c_topics/007/attached/attach_7462_1.pdf

下図のように、両端を剛体壁に固定された長さ ll、断面積 SS の棒を考え、棒を二等分する点を BB とします。左半分(区間 ABAB)のヤング率を E1E_1、右半分(区間 BCBC)のヤング率を E2E_2 とし、軸方向に荷重 PP をかけたときの点 BB の変位 δ\delta を求めます。

固定――――A――――B――――C――――固定
      ←l/2→  ←l/2→
      E1      E2

1.各部材の変位

区間 ABAB(長さ L=l/2L = l/2)に働く内力を PAP_A、区間 BCBC に働く内力を PBP_B とします。

  • 部材 AB の縦ひずみ
    応力 σA=PA/S\sigma_A = P_A / S
    ひずみ εA=σAE1=PASE1\displaystyle \varepsilon_A = \frac{\sigma_A}{E_1} = \frac{P_A}{S E_1}
    変位(伸び)

    δA=LεA=l2PASE1=lPA2SE1. \delta_A = L\,\varepsilon_A = \frac{l}{2}\,\frac{P_A}{S E_1} = \frac{l\,P_A}{2 S E_1}.

  • 部材 BC の縦ひずみ
    応力 σB=PB/S\sigma_B = P_B / S
    ひずみ εB=σBE2=PBSE2\displaystyle \varepsilon_B = \frac{\sigma_B}{E_2} = \frac{P_B}{S E_2}
    変位(縮み方向だが絶対値で扱う)

    δB=LεB=l2PBSE2=lPB2SE2. \delta_B = L\,\varepsilon_B = \frac{l}{2}\,\frac{P_B}{S E_2} = \frac{l\,P_B}{2 S E_2}.


2.力の釣り合いと変位互換

  1. 力の釣り合い:外からの荷重 PP は、内部で PAP_APBP_B に分かれるため

    P=PA+PB. P = P_A + P_B.

  2. 固定端条件:両端が動かないので、左部材の伸び δA\delta_A と右部材の縮み δB\delta_B が同じだけ起こり、互いに打ち消し合います。

    δA=δB. \delta_A = \delta_B.


3.未知 PA,PBP_A,\,P_B の解法

lPA2SE1=lPB2SE2PAE1=PBE2PB=PAE2E1.\frac{l\,P_A}{2 S E_1} = \frac{l\,P_B}{2 S E_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{P_A}{E_1} = \frac{P_B}{E_2} \quad\Longrightarrow\quad P_B = P_A\frac{E_2}{E_1}.

これを P=PA+PBP = P_A + P_B に代入して

P=PA(1+E2E1)PA=E1E1+E2P,PB=E2E1+E2P.P = P_A\Bigl(1 + \tfrac{E_2}{E_1}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad P_A = \frac{E_1}{E_1+E_2}\,P, \quad P_B = \frac{E_2}{E_1+E_2}\,P.


4.点 BB の変位

δ  =  δA  =  lPA2SE1  =  l2SE1  E1E1+E2P  =  Pl2S(E1+E2).\delta \;=\;\delta_A \;=\;\frac{l\,P_A}{2 S E_1} \;=\;\frac{l}{2S E_1}\;\frac{E_1}{E_1+E_2}\,P \;=\;\boxed{\frac{P\,l}{2\,S\,(E_1+E_2)}}.

これが正解(選択肢③)となります (kakomonn.com)。