問題の図が表示されていませんが、説明から、2次元物体周りの流れに関する問題であることがわかります。この問題は、流体力学における制御体積を用いた力の分析に関連しています。具体的には、流体中の物体にかかる抗力を計算する問題です。
制御体積（矩形ABCD）を通過する流体の運動量の変化を考えることで、物体に働く力を求めることができます。ここで、流体は非圧縮性とされており、流れは定常と考えられています。
抗力 \( F_x \) は、流体の運動量の変化に等しく、次のように表されます。
\[ F_x = \dot{m}_{\text{in}} v_{\text{in}} – \dot{m}_{\text{out}} v_{\text{out}} + (\text{圧力差} \times \text{面積}) \]
ここで、
– \( \dot{m}_{\text{in}} \) は境界ABを通過する流体の質量流量、
– \( \dot{m}_{\text{out}} \) は境界CDを通過する流体の質量流量、
– \( v_{\text{in}} \) は境界ABにおける流速（ここでは \( U_g \) と一定）、
– \( v_{\text{out}} \) は境界CDにおける流速です。
質量流量は速度と密度と断面積の積で計算され、境界CDにおける流速は位置 \( y \) の関数として与えられています。しかし、具体的な流速の関数が問題文からは読み取れません。通常、抗力は以下のように計算できます。
\[ F_x = \rho \int (U_g – u(y)) \cdot u(y) \, dA \]
ここで、
– \( u(y) \) は境界CDにおける \( y \) 方向の速度分布、
– \( dA \) は微小面積要素です。
圧力差項は、境界ABとCD上の圧力が一様との仮定から、この問題では無視できます。また、流体の非圧縮性から、入口と出口の質量流量は等しくなければなりません。
適切な式を選択するには、境界CDにおける速度分布 \( u(y) \) が具体的にどのように与えられているかを知る必要があります。この情報がないため、正確な式を特定することはできませんが、上記の一般的な考え方に基づいて問題を解くことが可能です。
出入口で体積が同じなら、ρ∫⋅u(y)dAはρ∫⋅u(g)dAとしてもよいですか？
はい、非圧縮性流体において、制御体積を通過する流入と流出の体積流量が等しい場合、流入側の全体積流量は流出側の全体積流量に等しいと言えます。つまり、流入側（境界AB）での一様な速度 \( U_g \) による流量の積分は、流出側（境界CD）での速度分布 \( u(y) \) による流量の積分と等しくなります。
このことから、流出側での速度分布を積分する代わりに、流入側の一様な速度で積分しても、質量流量の計算結果は同じになります。式で表すと、次のようになります。
\[ \rho \int_{A_{\text{in}}} U_g \, dA = \rho \int_{A_{\text{out}}} u(y) \, dA \]
ここで、\( A_{\text{in}} \) は入口の断面積、\( A_{\text{out}} \) は出口の断面積を示しています。非圧縮性流体の場合、体積流量の保存からこのような関係が導かれます。ただし、実際に抗力を計算する際には、流出側での速度分布 \( u(y) \) を使って運動量の変化を直接計算する方が、物体にかかる力の分布をより正確に反映します。
