修正した計算によれば、最初の平衡条件からバネ定数 \( k \) は \( \frac{gm}{x} \) となります。ここで \( x \) は質量 \( m \) が重力 \( g \) のもとでバネを圧縮した初期の圧縮量です。
さらに、初期の圧縮量の半分だけバネを圧縮すると、バネ定数 \( k \) は変わらず、新しい圧縮量 \( x’ = \frac{3x}{2} \) で \( \frac{3mg}{2} \) の力を支える必要があります。
各選択肢を \( k = \frac{gm}{x} \) で評価した結果、以下のようになりました：
1. \( \frac{1}{x} < \frac{1}{3} \) （つまり \( k < \frac{1}{3} m g^2 \)）
2. \( \frac{1}{x} < 1 \) （つまり \( k < m g^2 \)）
3. \( \frac{1}{x} < \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \) （つまり \( k < \frac{m g^2}{1 + \sqrt{2}} \)）
4. \( \frac{1}{x} > 1 \) （つまり \( k > m g^2 \)）
5. \( \frac{1}{x} > \frac{1}{3} \) （つまり \( k > \frac{1}{3} m g^2 \)）
ここで \( x \) はバネの初期の圧縮量を表す正の値ですので、\( k \) は特定の値より小さいという不等式になります。従って、正解は \( k \) が \( m g^2 \) 未満であるという条件に最も適合する選択肢です。
与えられた選択肢から、\( k > m g^2 \) という選択肢は、質量の重さより少ない力でバネをさらに圧縮する必要があるため、不正解です。
残りの不等式から、最も制約が厳しく、\( m g^2 \) を超えない最大の境界を示す選択肢を考える必要があります。選択肢 3 の \( k < \frac{m g^2}{1 + \sqrt{2}} \) は、\( 1 + \sqrt{2} \) が1より大きいため、分母が大きくなり分数が \( m g^2 \) より小さくなります。
他の選択肢1と5は、\( k \) が \( \frac{1}{3} m g^2 \) より小さいということを示していますが、これらは選択肢3よりも制約が緩いです。
したがって、数値が具体的に示されていない限り、問題文の説明に最も
適合し、\( m g^2 \) の境界を超えない最も制限的な選択肢は、次のようになります：
\( k < \frac{m a^2}{1 + \sqrt{2}} \)
これは選択肢3です。ここでの理由は、選択肢1、2、および3全てが数学的に正しいものの、選択肢3が提供された情報に基づいて \( k \) が存在すべき最も正確な範囲を提供しているからです。
不正解！！！！
参考：https://livemyself.com/archives/32363
