曲げモーメント M と垂直応力＝曲げ応力 σ x ( z ) ，垂直ひずみ＝曲げひずみ ε x ( z ) の導出

与えられた式

$M = EI\kappa$M=EIκ を使用して、垂直応力

$\sigma_x(z)$σx​(z) および垂直ひずみ

$\varepsilon_x(z)$εx​(z) の式を導出することができます。まず、曲率

$\kappa$κ の定義を利用します。曲率は、曲げによる変形の程度を表すもので、曲率半径

$R$R の逆数として定義されます。すなわち、$ \kappa = \dfrac{1}{R} $

1. 垂直応力
   $\sigma_x(z)$σx​(z) の導出:

   曲げの基本方程式は、垂直応力

   $\sigma_x(z)$σx​(z) が曲げモーメント

   $M$M と断面二次モーメント

   $I$I に依存することを示しています。この方程式は、$\sigma_x(z) = \dfrac{M}{I} z $

   これは、垂直応力が曲げモーメント、断面二次モーメント、および断面の中立軸からの距離

   $z$z に比例することを示しています。

2. 垂直ひずみ
   $\varepsilon_x(z)$εx​(z) の導出:

   曲げによるひずみは、応力とヤング率

   $E$E の関係を利用して表現されます。垂直ひずみ

   $\varepsilon_x(z)$εx​(z) は、$ \varepsilon_x(z) = \dfrac{\sigma_x(z)}{E} $

   この式を利用して、垂直ひずみの式を得ることができます。垂直応力の式

   $\sigma_x(z) = \dfrac{M}{I} z$σx​(z)=IM​z を代入すると、$ \varepsilon_x(z) = \dfrac{M}{EI} z $

これらの式は、曲げによる材料の応力とひずみの関係を示しており、構造解析や材料の性能評価において重要な役割を果たします。