解きます。

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条件

2次元非圧縮性流なので連続の式は $$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.$$   与えられた $u=x^2+xy$ について、 $$\frac{\partial u}{\partial x}=2x+y,$$   よって $$\frac{\partial v}{\partial y}=-(2x+y).$$   これを $y$ について積分すると、 $$v=-2xy-\frac{1}{2}y^2+g(x),$$   ただし $g(x)$ は $y$ に依存しない任意関数（境界条件で決まる）。 選択肢の中でこの形を満たしているのは ① $v=-2xy-\frac{1}{2}y^2$ （ $g(x)=0$ の場合）だけ。

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答え

① 参考：連続の式 | 副業の宮殿【PR】 技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-30解答例 | 技術士のたまご

積分定数はどのように扱われますか？あとxの関数なのですか？

はい。ここで出てきた「積分定数」は偏微分を $y$ についてやったから出てくるもので、 $y$ に関して微分すると消える任意の関数なので、厳密には定数ではなく $x$ の関数になります。だから： $$\frac{\partial v}{\partial y}=-(2x+y) \quad\Rightarrow\quad v(x,y) = -2xy - \frac{1}{2}y^2 + g(x)$$   のように書き、 $g(x)$ が “積分定数” に相当する項（ただし $y$ には依存しないので、 $\partial/\partial y$ すると消える）。

どう扱うか

その関数 $g(x)$ を決めるには追加の条件（境界条件・対称性・物理的制約など）が必要です。例：

• もし「 $y=0$  で $v(x,0)=0$  」という条件があれば： $$v(x,0) = -2x\cdot0 - \tfrac12\cdot0^2 + g(x) = g(x) = 0$$なので $g(x)=0$となり、解は $v=-2xy-\tfrac12y^2$。
• あるいは、全体の流れに対して「ある $x$  に沿っての $v$  の分布」が与えられれば、それを代入して $g(x)$  を求める。

補足：ストリーム関数を使うと構造が見える

非圧縮性2次元流れではストリーム関数 $\psi(x,y)$ が存在して $$u = \frac{\partial \psi}{\partial y},\quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$   与えられた $u=x^2+xy$ から $$\psi = \int u\,dy = x^2 y + \frac{1}{2}x y^2 + f(x),$$   すると $$v = -\frac{\partial \psi}{\partial x} = -2xy - \frac{1}{2}y^2 - f'(x).$$   よって $g(x) = -f'(x)$ という形で前と一致し、任意関数成分の起源が分かります。

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まとめ

• 偏微分を $y$  で積分したときの「積分定数」は $y$  に依存しない任意関数 $g(x)$  。
• それを決めるには境界条件などの追加情報が必要。
• ストリーム関数を使うとその任意性が微分の結果として自然に現れる（ $g(x)=-f'(x)$  ）。

必要なら具体的な境界条件付きの例を一緒に解きますが、どれがよいですか？

連続の式は速度の微分なので、加速度の和が0ということですか？

  とても良い着眼点です。 結論から言うと：

❌ いいえ。連続の式（∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0）は、加速度の和が0という意味ではありません。 ✅ これは「質量保存（非圧縮性なら体積保存）」を表す式で、速度の発散がゼロという意味です。

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🔹 1. 連続の式とは

流体の質量保存を表す基本式です。 一般形は [ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 ] であり、非圧縮性（密度一定）の場合は： [ \nabla \cdot \mathbf{v} = 0 ] すなわち [ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 ] これは「ある微小体積の中に入る流量と出る流量が等しい（質量が増減しない）」ことを意味します。

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🔹 2. 「速度の微分」ではあるが「加速度」ではない

• (\frac{\partial u}{\partial x}), (\frac{\partial v}{\partial y}) は「位置に対する変化率」であり、 空間的な変化（発散＝流れの膨張や収縮）を示しています。
• 一方、加速度は「時間に対する変化率（運動の変化）」です： [ \mathbf{a} = \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} ]

したがって、「速度の空間微分＝発散（流量の変化）」と 「速度の時間微分＝加速度（運動の変化）」はまったく別の概念です。

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🔹 3. 直感的な理解

• 連続の式（発散＝0） → 空間的に流体が「わき出たり消えたり」していない。 → 微小体積の質量が一定。
• 運動方程式（加速度＝力／質量） → 流体粒子が時間的にどのように加速するか（ニュートンの第2法則）。

つまり、連続の式は流れのつながり（質量保存）を表し、 運動方程式（ナビエ–ストークス式）は流れの変化の原因（力学）を表します。 どちらも速度が関係しますが、導関数の方向（空間 or 時間）が違います。

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🔹 4. まとめ

式	内容	物理的意味
連続の式：(\nabla\cdot\mathbf{v}=0)	速度の空間微分	質量（体積）保存、膨張ゼロ
運動方程式：(\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \text{力})	速度の時間微分	加速度＝力による変化

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ご希望があれば、「連続の式と運動方程式の違いを図で示す教材風イラスト（流線と体積の関係）」を作成することもできます。作ってみましょうか？