解きます。
条件
2次元非圧縮性流なので連続の式は
∂u∂x+∂v∂y=0.∂u∂x+∂v∂y=0.
与えられた
u=x2+xyu=x2+xy
について、
∂u∂x=2x+y,∂u∂x=2x+y,
よって
∂v∂y=−(2x+y).∂v∂y=−(2x+y).
これを
yy
について積分すると、
v=−2xy−12y2+g(x),v=−2xy−12y2+g(x),
ただし
g(x)g(x)
は
yy
に依存しない任意関数（境界条件で決まる）。
選択肢の中でこの形を満たしているのは
①
v=−2xy−12y2v=−2xy−12y2
（
g(x)=0g(x)=0
の場合）だけ。
答え
①
技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-30解答例 | 技術士のたまご
積分定数はどのように扱われますか？あとxの関数なのですか？
はい。ここで出てきた「積分定数」は偏微分を
yy
についてやったから出てくるもので、
yy
に関して微分すると消える任意の関数なので、厳密には定数ではなく
xx
の関数になります。だから：
∂v∂y=−(2x+y)⇒v(x,y)=−2xy−12y2+g(x)∂v∂y=−(2x+y)⇒v(x,y)=−2xy−12y2+g(x)
のように書き、
g(x)g(x)
が “積分定数” に相当する項（ただし
yy
には依存しないので、
∂/∂y∂/∂y
すると消える）。
どう扱うか
その関数
g(x)g(x)
を決めるには追加の条件（境界条件・対称性・物理的制約など）が必要です。例：
- もし「
y=0y=0で v(x,0)=0v(x,0)=0
」という条件があれば：
v(x,0)=−2x⋅0−12⋅02+g(x)=g(x)=0v(x,0)=−2x⋅0−12⋅02+g(x)=g(x)=0なので
g(x)=0g(x)=0となり、解は
v=−2xy−12y2v=−2xy−12y2。
- あるいは、全体の流れに対して「ある
xxに沿っての vv
の分布」が与えられれば、それを代入して g(x)g(x)
を求める。
補足：ストリーム関数を使うと構造が見える
非圧縮性2次元流れではストリーム関数
ψ(x,y)ψ(x,y)
が存在して
u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂x.u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂x.
与えられた
u=x2+xyu=x2+xy
から
ψ=∫u dy=x2y+12xy2+f(x),ψ=∫udy=x2y+12xy2+f(x),
すると
v=−∂ψ∂x=−2xy−12y2−f′(x).v=−∂ψ∂x=−2xy−12y2−f′(x).
よって
g(x)=−f′(x)g(x)=−f′(x)
という形で前と一致し、任意関数成分の起源が分かります。
まとめ
- 偏微分を
yyで積分したときの「積分定数」は yy
に依存しない任意関数 g(x)g(x)
。
- それを決めるには境界条件などの追加情報が必要。
- ストリーム関数を使うとその任意性が微分の結果として自然に現れる（
g(x)=−f′(x)g(x)=−f′(x)）。
必要なら具体的な境界条件付きの例を一緒に解きますが、どれがよいですか？
