次の記述の、（　　　）に入る表記の組合せとして、最も適切なものはどれか。

独立に製造された軸A1と軸A2を長さ方向にすき間なく接続する。 軸A1の長さと軸A2の長さがそれぞれ独立に正規分布N（μA1，δA12）、正規分布N（μA2，δA22）
に従うとき、接続されたものの長さは正規分布（　ア　）に従う。
また、独立に製造された軸B1と軸受B2のはめあいを考える。 軸B1の外径と軸受B2の内径がそれぞれ独立に正規分布N（μB1，δB12）、正規分布N（μ B2，δB22）に従うとき、このすき間寸法は正規分布（　イ　）に従う。ただし、常にμB2＞μB1であるものとする。

ア：N（μa1＋μA2，δA12＋δA22）　　イ：N（μB2＋μB1，δB22＋δB12）
ア：N（μa1＋μA2，δA12＋δA22）　　イ：N（μB2−μB1，δB22−δB12）
ア：N（μa1＋μA2，δA12＋δA22）　　イ：N（μB2−μB1，δB22＋δB12）
ア：N（μa1＋μA2，δA12−δA22）　　イ：N（μB2−μB1，δB22−δB12）
ア：N（μa1＋μA2，δA12−δA22）　　イ：N（μB2＋μB1，δB22−δB12）

https://kakomonn.com/gijyutushi/questions/80691

この問題は、正規分布の合成（和・差）に関する統計の基本的な知識を問うものです。

【ア】の部分：軸A1とA2を「すき間なく接続」する ⇒ 長さの合計

軸A1：N(μA1, δA1²)
軸A2：N(μA2, δA2²)
→ 和 X = A1 + A2

正規分布同士の和は以下のようになります：

  • 平均：μA1 + μA2
  • 分散：δA1² + δA2²（※分散を足す）

つまり：

ア：N（μA1＋μA2，δA1²＋δA2²）

【イ】の部分：軸受と軸のすき間 ⇒ 内径 − 外径

軸受B2の内径：N(μB2, δB2²)
軸B1の外径：N(μB1, δB1²)
→ すき間 S = B2 − B1

正規分布の差は：

  • 平均：μB2 − μB1
  • 分散：δB2² + δB1²（差でも分散は加算）

つまり：

イ：N（μB2−μB1，δB2²＋δB1²）

よって、正解は：

ア：N（μA1＋μA2，δA1²＋δA2²）
イ：N（μB2−μB1，δB2²＋δB1²）

正解の選択肢は：

✅ ア：N（μa1＋μA2，δA12＋δA22）　イ：N（μB2−μB1，δB22＋δB12）

（※記号の表記ゆれがあるが意味は同じ）

【答え】：3番目の選択肢が正解

分散は差でも加算されるのですか？

はい、分散は差でも加算されます。
これは統計学上の重要な性質です。

■ 基本原理：独立な確率変数 XX

 

と YY

 

に対して

  • 和：
    Z=X+YZ = X + Y     
  • 差：
    Z=X−YZ = X – Y     

どちらの場合も、Z の分散は次のようになります：

Var(Z)=Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)\mathrm{Var}(Z) = \mathrm{Var}(X \pm Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)

 

この公式が成り立つのは、XとYが独立である場合です。

■ なぜ差でも分散が加わるのか？

これは、分散が「ばらつきの大きさ」であり、足し算・引き算のどちらでもばらつきは増えるためです。

例：

  • X ~ N(10, 4)
  • Y ~ N(5, 9)

→ Z = X − Y
Z の平均：10 − 5 = 5
Z の分散：4 + 9 = 13

Z ~ N(5, 13)

■ 補足：標準偏差との違いに注意

  • 分散（Variance）：加算される → δ²
  • 標準偏差（Standard deviation）：分散の平方根 → √(δ²₁ + δ²₂)

■ 結論

✔️ 和でも差でも、独立な正規分布の分散は加算される。
❌ 差だからといって分散を引き算してはいけません。

何か数式の導出や直感的な説明もご希望でしたら、お気軽にどうぞ。