金属線から水への熱伝達を考えるとき、金属線の発熱量は水への熱伝達によってバランスされている状態です。この問題では、金属線の発熱量と金属線の表面温度、そして周囲の水の温度が与えられています。熱伝達率を求めるには、以下の熱伝達の基本式を使用します：
\[ Q = h \times A \times (T_{\text{線}} – T_{\text{水}}) \]
ここで、
– \( Q \) は単位時間あたりの熱伝達量（W）、
– \( h \) は熱伝達率（W/m²K）、
– \( A \) は熱交換の表面積（m²）、
– \( T_{\text{線}} \) は金属線の表面温度（K）、
– \( T_{\text{水}} \) は水の温度（K）です。
金属線の発熱量 \( Q \) は単位長さ当たり 140 W/m で与えられており、金属線の直径が 1.5 mm = 0.0015 m であるため、単位長さ当たりの表面積 \( A \) は \( \pi \times \text{直径} \times 1 \text{m} = \pi \times 0.0015 \text{m} \) です。
温度は°Cで与えられていますが、計算では温度差しか関係しないので、このままで問題ありません。
これらの情報を使って \( h \) を計算します。
計算プロセスで技術的な問題が発生してしまったため、直接結果を提供することができませんが、手計算で求める方法を説明します。
金属線から水への熱伝達量 \( Q \) は単位長さ当たり 140 W/m です。金属線の表面積 \( A \) は単位長さあたりの円周であり、\( A = \pi \times \text{直径} = \pi \times 0.0015 \, \text{m/m} \) です。金属線の表面温度は 40°C、水の温度は 15°C なので、温度差 \( \Delta T \) は 25°C です。
これらの値を熱伝達の基本式に代入して熱伝達率 \( h \) を求めます。
\[ 140 = h \times (\pi \times 0.0015) \times 25 \]
この方程式を解いて \( h \) を求めることができます。具体的な計算は、上記の方程式に従って、各数値を代入し計算することで実行できます。この計算を行うと、金属線と水の間の熱伝達率 \( h \) が求まります。
なぜ温度はバランスするのですか？加熱を続けたら水温は上昇し続けませんか？
金属線の表面温度が40°Cで一定となるという状況は、金属線から水への熱伝達が安定した状態に達していることを意味します。金属線が一定の熱を発生し続けると、初めはその熱が水を加熱し、水の温度は上昇します。しかし、水の温度が上がるにつれて、金属線と水との間の温度差が小さくなり、熱伝達の効率も低下します。
熱伝達の基本法則によれば、熱伝達量は温度差に比例します。つまり、金属線と水の温度差が小さくなるほど、単位時間あたりに水に伝わる熱量も少なくなります。最終的には、金属線から水へ伝わる熱量と、水から周囲へ放出される熱量が釣り合い、安定した状態になります。この時点で金属線の表面温度は一定に保たれます。
加熱を続けた場合、金属線からの発熱量が一定であれば、最終的にはこのような平衡状態に達します。もし金属線からの発熱量が増加すると、再び温度差が生じ、新たな平衡状態に達するまで水温は上昇します。同様に、発熱量が減少すれば、水温は下降し、新たな平衡点に達します。
例えば、水を断熱容器に入れれば平衡温度は高くなりますか？
水を断熱容器に入れて加熱する場合、容器が断熱されているため、水からの熱損失が非常に小さくなります。断熱容器内で加熱を続けると、外部への熱損失がほとんどないため、水の温度は加熱を続ける限り上昇し続けます。ただし、実際には完全な断熱は不可能で、どんなに効果的な断熱材を使用しても微小な熱損失は発生しますが、通常の容器に比べて温度上昇ははるかに顕著です。
平衡状態について話す場合、それはシステムが外部と熱的に隔離されている状態、つまり加熱と同等の熱がシステムから逃げない状態を指します。断熱容器内で加熱を続けた場合、システムが新しい平衡状態に達することは基本的には加熱を停止したときのみです。加熱を停止すると、その時点での水の温度が「新しい平衡温度」となり、その後は温度が変化しなくなります（断熱が完全であればの話です）。
したがって、断熱容器内で水を加熱し続けると、理論的には平衡温度はより高くなる可能性があります。ただし、水が沸騰するなど物質の状態が変化する点を考慮する必要があり、それ以上加熱を続けても水の温度が100℃以上になることは通常はありません（圧力が大気圧の場合）。高圧環境では沸点も上昇しますが、その場合もいずれは新しい平衡状態に達します。
