図中の減衰比 ζ は標準定義

$$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

 

により求めます。

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• 
  $m=10\ {\rm kg}$ 

  、

  $k=1000\ {\rm N/m}$ 

  、

  $c=20\ {\rm Ns/m}$ 

  なので

$$2\sqrt{mk} =2\sqrt{10\times1000} =2\sqrt{10000} =2\times100=200.$$

$$\zeta=\frac{20}{200}=0.1.$$

 

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よって最も近い選択肢は ③ 0.1 です。

 

参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-20解答例 | 技術士のたまご

この問題はcとkが並列で描かれていますが、直列でも同じ解答になりますか？

 

標準的な１自由度系

$$m\ddot x + c\,\dot x + k\,x = 0$$

 

という形で使った減衰比

$$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

 

は，ばね

$k$

とダンパ

$c$

が並列に質量に直結している場合の式です。もしこれらを直列につないで質量に引き付けた場合には，運動方程式そのものが変わり，減衰比の定義も変わってしまいます。

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並列接続の場合

• 運動方程式：
  $$m\ddot x + c\,\dot x + k\,x =0$$ 
• 減衰比：
  $\displaystyle \zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}$ 

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直列接続の場合

壁―ばね

$k$

―ダンパ

$c$

―質量，という順序で直列に並べてみると，力

$F$

は両素子で共通・変位は足し合わせになります。運動方程式を立てると最後には

$$m\ddot x + \underbrace{\frac{k\,m}{c}}_{c_{\rm eff}}\,\dot x + k\,x=0$$

 

となり，

• 有効な減衰係数は
  $c_{\rm eff}=k\,m/c$ 
• よって減衰比は
  $$\zeta_{\rm series} =\frac{c_{\rm eff}}{2\sqrt{m\,k}} =\frac{k\,m/c}{2\sqrt{m\,k}} =\frac{\sqrt{m\,k}}{2\,c} \neq \frac{c}{2\sqrt{m\,k}}$$と まったく別の式 になります。

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まとめ

• 並列で直結すると
  $c$ 

  ・

  $k$ 

  がそのまま ODE に現れ，

  $\zeta=c/(2\sqrt{mk})$ 

  が成り立つ。

• 直列につなぐと式が変形され，有効減衰係数も
  $k\,m/c$ 

  のように入れ替わるので，同じ解答にはなりません。

したがって「直列でも同じ ζ になるか？」という問いの答えは 「いいえ，変わります」 です。

$2\sqrt{m\,k}$

 

” はなに？

“

$2\sqrt{m\,k}$

” は、まさに臨界減衰係数

$c_c$

の式です。つまり

$$c_c \;=\;2\sqrt{m\,k}$$

 

とおくと、減衰比を

$$\zeta=\frac{c}{c_c}=\frac{c}{2\sqrt{m\,k}}$$

 

と定義でき、

• 
  $\zeta<1$ 

  ：不足減衰

• 
  $\zeta=1$ 

  ：臨界減衰

• 
  $\zeta>1$ 

  ：過減衰

に分類できます。

由来
運動方程式を

$$m\ddot x + c\dot x + kx=0$$

 

とすると、特性方程式は

$$s^2 + \frac{c}{m}s + \frac{k}{m}=0.$$

 

この二次方程式の判別式をゼロにして「重根にする」（振動せず最速収束の条件）と

$$\Bigl(\tfrac{c}{m}\Bigr)^2 – 4\tfrac{k}{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad c_c = 2\sqrt{m\,k}.$$

 

したがって “2√(m k)” は、「ちょうど臨界減衰になるときのダンパ係数」の大きさを表す式、という意味になります。