答え：⑤

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各指標

• ア：立ち上がり時間 (Rise Time)
  ステップ入力後，出力が 0.1 $y_0$ 

  （10%）から 0.9 $y_0$ 

  （90%）へ到達するまでの時間。図では初期立ち上がり部分を示す短めの横矢印。

• イ：行き過ぎ時間 (Peak Time)
  出力が最初の最大値（オーバーシュート頂点 $y_{\max}$ 

  ）に達するまでの時間。図のピーク位置（縦破線）までの矢印。

• ウ：整定時間 (Settling Time)
  出力が初めて ±5% バンド（0.95 $y_0$ 

  ～1.05 $y_0$ 

  ）内に入り、以後その帯域を外れなくなるまでの時間。図で最も長い矢印。

 

したがって組合せは ア＝立ち上がり時間，イ＝行き過ぎ時間，ウ＝整定時間 の ⑤ が正解です。

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補足

• 最大オーバーシュート量は
  $y_{\max}-y_0$ 

  （図では 1.05 $y_0$ 

  付近）で示されているが、今回の矢印では“値”ではなく“時間”の指標を問うもの。

• 他の定義（遅れ時間 50% 到達など）を使う文献もあるので、問題図と読みの整合が重要です。今回はご指定の読み取りに合わせています。

 

参考：技術士第一次試験－令和2年度機械部門Ⅲ-14解答例 | 技術士のたまご

立ち上がり時間、遅れ時間、行き過ぎ時間、整定時間について教えてください。

以下，ステップ応答に対して頻出の 4 つの時間指標
遅れ時間 (delay time)，立ち上がり時間 (rise time)，行き過ぎ時間 / ピーク時間 (peak time)，整定時間 (settling time)
を体系的にまとめます。

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0. 前提：典型的な 2 次標準形

制御入門で多く用いる代表モデル：

$$G_{cl}(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}$$

 

単位ステップ入力に対する（

$\zeta<1$

の）出力

$$y(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} e^{-\zeta\omega_n t} \sin\!\Bigl(\omega_d t + \phi\Bigr),\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}},\ \phi=\arctan\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\zeta}$$

 

この式から各時間指標が導かれます。以下では「最終値（定常値）」を

$y_\infty$

と書きます。

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1. 遅れ時間 (遅れ時間 $t_d$

 

, Delay Time)

定義（典型的）： ステップ入力後，出力が最初に 50%（0.5

$y_\infty$

）に到達するまでの時間。

教科書や分野によって 10% あるいは某パーセンタイルを使う定義もありますが，日本語「遅れ時間」は Ogata などで 50% 到達時間を指すことが多いです。

意味： 応答が立ち上がり始めてから“半分”に達するまでの『初動の遅れ感』を表す。
備考： 1 次系（

$G(s)=1/(Ts+1)$

）なら

$y(t)=1-e^{-t/T}$

なので

$t_d = T\ln 2\approx0.693T$

.

2 次標準形（

$\zeta$

が 0.2～0.8 程度）では解析解から求められるが，設計では重要度が低いため実務では頻繁には要求されない。

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2. 立ち上がり時間 (立上り時間 $t_r$

 

, Rise Time)

定義（よく用いられる）： 出力が 10% から 90%（0.1～0.9

$y_\infty$

）に上昇するのに要する時間。

• 別定義：0%→100%（非振動・無オーバーシュート系）、5%→95% など。仕様書では必ず定義の百分率を明示すること。

意味： 応答の早さ（スピード感）を示す指標。
2 次標準形の近似式（

$\zeta<1$

）:
厳密には

$$t_r = \frac{\pi – \phi}{\omega_d}, \qquad \phi=\arctan\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\zeta}$$

 

これは 0→100% を仮定した形。10–90% 定義ではわずかに短くなる（ζ=0.5 付近で約 0.35/ζω_n 程度）。
簡便近似（

$\zeta=0.4\sim0.8$

）：

t_r \approx \frac{1.8}{\omega_n} \quad(\zeta\approx0.6\) のとき)

ただし ζ 依存を無視した粗い目安。

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3. 行き過ぎ時間 / ピーク時間 (ピーク時間 $t_p$

 

, Peak Time)

定義： 最初のオーバーシュート（最大値）に達するまでの時間。
式（2 次標準形）：

$$t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}}$$

 

関連：最大オーバーシュート

$M_p$

 

$$M_p = \exp\!\left(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right)$$

 

（%表示は

$100 M_p\%$

）。
ピーク値

$y_{\max} = y_\infty(1+M_p)$

.

意味： 最初の振動が現れる速さ（振動性モードの“周期的速さ”）。

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4. 整定時間 (整定時間 $t_s$

 

, Settling Time)

定義： 出力が指定された許容誤差帯（±2% あるいは ±5% が標準）に入り，その後離脱しない で留まるようになるまでの時間。
（問題文の図では ±5% バンド：0.95～1.05。）

2 次標準形の近似式：
指数包絡線

$e^{-\zeta\omega_n t}$

を用い

$$t_s \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{4}{\zeta\omega_n} & (\pm2\% \text{基準})\\[6pt] \displaystyle \frac{3}{\zeta\omega_n} & (\pm5\% \text{基準}) \end{cases}$$

 

意味： “十分落ち着く” までの時間。設計仕様・比較に最も多用される。

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5. 指標間の関係（典型：ζ=0.6 の例）

指標	代表式	ζ=0.6, ω_n=5 rad/s の数値例
遅れ時間 $t_d$(50%)	数値計算	≈0.24 s
立ち上がり時間 $t_r$(10–90%)	≈ $(\pi-\phi)/\omega_d$	≈0.42 s
ピーク時間 $t_p$	$\pi/(\omega_n\sqrt{1-\ζ^2})$	≈0.73 s
整定時間 $t_s$(±2%)	$4/(\ζω_n)$	≈1.33 s
最大オーバーシュート $M_p$	$e^{-ζπ/\sqrt{1-ζ^2}}$	≈10%

（ここで

$\phi\approx 53.1^\circ$

,

$\omega_d=5\sqrt{1-0.36}=4$

）

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6. なぜ複数必要か

指標	主な設計意図
遅れ時間	初期反応の速さ（センサ/アクチュエータ遅れ感）
立ち上がり時間	目標に近づく速さ（立上り性能）
ピーク時間	振動性の周期尺度，オーバーシュートとの連携
整定時間	実用上「落ち着いた」とみなすまでの時間（安定収束速度）

一つだけでは “速いが振動が大きい” などのトレードオフを把握できないため，複数を指定してバランスを図る。

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7. 定義のバリエーションと注意

• Rise Time の百分率 は文献で差が大きい（0–100%, 5–95%, 10–90%）。仕様書で必ず明記。
• Settling Band も ±2% か ±5% を必ず明記。
• Delay Time は扱わない資料もある（代わりに“時間遅れ (time delay)”＝輸送遅れ
  $e^{-Ls}$ 

  と混同しないよう注意）。

• 高次系では “支配的 2 次モード” がある場合のみこれらの近似式が妥当。複数モードが同程度なら数値シミュレーションで直接測定する。

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8. 設計への使い方（逆算例）

仕様例：

• 
  $M_p \le 10\%$ 

  → $\zeta \gtrsim 0.59$ 

• 
  $t_s (±2\%) \le 1.2\,\text{s}$ 

  → $\frac{4}{\zeta\omega_n}\le1.2 \Rightarrow \omega_n \ge \frac{4}{1.2\zeta}$ 

  $\zeta=0.6$ 

  なら $\omega_n \ge 5.56$ 

  .
  → これで極を $-\zeta\omega_n \pm j\omega_d$ 

  付近に配置する など。

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9. “行き過ぎ時間” と “オーバーシュート” の違い

• 行き過ぎ時間 (ピーク時間
  $t_p$ 

  ) は “時間”。

• オーバーシュート (最大オーバーシュート
  $M_p$ 

  ) は “割合（高さ）”。
  図ではピーク時刻が縦破線、縦位置が $y_{\max}$ 

  。

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10. まとめ（要約）

用語	記号	代表的定義	2 次系代表式
遅れ時間	$t_d$	0→50% 到達時間	（求め方は式代入 / 数値）
立ち上がり時間	$t_r$	10→90% 上昇時間	$(\pi-\phi)/\omega_d$近似
行き過ぎ (ピーク) 時間	$t_p$	最初の最大値に到達	$\pi / \omega_d$
整定時間	$t_s$	±α% バンド内定着	$4/(\zeta\omega_n)$(2%), $3/(\zeta\omega_n)$(5%)

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さらに「各式の導出過程が見たい」「任意の ζ と ω_n で値を計算したい」「高次系の場合の測定手順」などあれば続けてどうぞ。どこを深掘りしますか？